Accedi ai contenuti scaricabili
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio moti relativi 24

Moti relativi in Meccanica classica

Home » Esercizio moti relativi 24

Esercizio sui moti relativi 24 è il ventiquattresimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 25, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 23. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 24

Esercizio 24 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Sopra un piano orizzontale liscio è poggiato un cubo di massa M e su di esso è poggiato un altro cubetto di massa m a distanza d dalla faccia AB del cubo più grande, come rappresento in figura 1. Al cubo di massa M è applicata una forza \vec{F} costante in modulo, direzione e verso, come rappresentato in figura 1. La direzione della forza \vec{F} è parallela al piano orizzontale e il verso è indicato in figura 1. Dopo un tempo pari a t=t_1>0 il cubetto di massa m cade. Calcolare il coefficiente di attrito tra i due cubi.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy tale per cui l’asse delle x sia coincidente con il piano orizzontale. Rispetto a tale sistema di riferimento M accelera, dunque, se scegliamo un secondo sistema di riferimento solidale con M è non inerziale. Scegliamo un secondo sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime solidale con M, come rappresentato in figura 1. I sistemi di riferimento sono stati scelti tale per cui x\parallel x^\prime e y\parallel y^\prime.    

Rendered by QuickLaTeX.com

    Sia \vec{A} l’accelerazione di M lungo l’asse delle x. Osservando da O^\prime x^\prime y^\prime notiamo che su m è agente la forza peso m\vec{g} diretta nel semiasse negativo delle y^\prime, la reazione vincolare \vec{N} diretta nel semiasse positivo delle y^\prime, la forza di attrito dinamico \vec{f}_d diretta nel semiasse positivo delle x^\prime e, infine, la forza apparente -m\vec{A} diretta nel semiasse negativo delle x^\prime. La direzione della forza apparente -m\vec{A} è stata dedotta dal fatto che il corpo di massa M accelera nella direzione positiva delle x, pertanto la forza -m\vec{A} è orientata nella direzione del semiasse negativo delle x^\prime \parallel x. In figura 2 rappresentiamo lo schema delle forze agenti su m.    

Rendered by QuickLaTeX.com

    Sia a^\prime l’accelerazione relativa tra m ed M lungo l’asse delle x^\prime. Per la seconda legge della dinamica per m osservando dal sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime abbiamo

(3) \begin{equation*} \begin{cases} N=mg\\-mA+f_d = -ma^\prime. \end{cases} \end{equation*}

Ricordando che f_d = N \mu_d avvalendoci del precedente sistema otteniamo

(4) \begin{equation*} -mA + mg \; \mu_d = - ma^\prime, \end{equation*}

cioè

(5) \begin{equation*} \boxed{a^\prime=A-g \; \mu_d .} \end{equation*}

Osserviamo M dal sistema di riferimento fisso Oxy. Le forze agenti su M sono la forza peso M\vec{g} orientata nel semiasse negativo delle y, la reazione vincolare \vec{R} generata dal contatto con il piano orizzontale e orientata nel semiasse positivo delle y, la reazione vincolare -\vec{N} diretta conseguenza del terzo principio della dinamica per via del contatto con m e orientata nel semiasse negativo delle y, la forza \vec{F} orientata nel semiasse positivo delle x e, infine, la forza di attrito dinamico -\vec{f}_d diretta conseguenza del terzo principio della dinamica per via del contatto con m e orientata nel semiasse negativo delle x. In figura 3 rappresentiamo lo schema delle forze agenti su M.    

Rendered by QuickLaTeX.com

   

Chiaramente poiché il corpo di massa M è osservato da un sistema di riferimento fisso su di esso non sono agenti forze apparenti. Per la seconda legge della dinamica per M osservando dal sistema di riferimento O x y abbiamo

(6) \begin{equation*} \begin{cases} -N+R = Mg\\ F-f_d = MA\\ f_d = N \mu_d = mg \mu_d. \end{cases} \end{equation*}

Confrontando l’equazione (6)_2 (seconda equazione del precedente sistema) e l’equazione (6)_3 (terza equazione del precedente sistema) otteniamo

(7) \begin{equation*} F - mg \; \mu_d = M A , \end{equation*}

o anche

(8) \begin{equation*} \boxed{A = \dfrac{F-mg \; \mu_d}{M}.} \end{equation*}

Mettendo a sistema la precedente equazione con l’equazione (5) si ottiene

(9) \begin{equation*} -A+g \; \mu_d = - a^\prime, \end{equation*}

conseguentemente

(10) \begin{equation*} \mbox{\fbox{$a^\prime = A-g \, \mu_d = \dfrac{F-mg \; \mu_d}{M}-g \, \mu_d$.}} \end{equation*}

L’accelerazione a^\prime è costante, come si può dedurre dall’equazione (10), pertanto m si muove di moto uniformemente accelerato lungo l’asse delle x^\prime. La legge oraria di m è

(11) \begin{equation*} x^\prime(t) =x^\prime_0 + v_0^\prime t + \dfrac{1}{2} a^\prime t^2, \end{equation*}

dove x^\prime_0 è la posizione iniziale lungo l’asse delle x^\prime e v_0^\prime è la velocità iniziale. La velocità relativa iniziale per ipotesi è nulla, quindi v_0^\prime = 0. Nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime la massa m percorre uno spazio pari a d in un tempo t=t_1. Fissiamo l’origine O^\prime del sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime coincidente con m all’istante t=0, quindi {x_0}^\prime=0 e x^\prime(t_1)=d. Imponendo tali condizioni dalla precedente equazione abbiamo

(12) \begin{equation*} x^\prime(t_1) = d = \dfrac{1}{2}a^\prime t_1^2 , \end{equation*}

conseguentemente

(13) \begin{equation*} a^\prime = \dfrac{2d}{t_1^2}. \end{equation*}

Mettendo a sistema la precedente equazione con l’equazione (10) si trova

(14) \begin{equation*} \begin{aligned} & \dfrac{F-mg \, \mu_d}{M} - g \mu_d = a^\prime = \dfrac{2d}{t_1^2} \quad \Leftrightarrow \\[10pt] & \Leftrightarrow\quad F-mg \mu_d - Mg \, \mu_d = M \, \dfrac{2d}{t_1^2} \quad \Leftrightarrow\\[10pt] & \Leftrightarrow \quad \mu_d = \dfrac{1}{g(M+m)} \; \left(F- M \dfrac{2d}{t_1^2}\right). \end{aligned} \end{equation*}

Dunque, concludiamo che il coefficiente di attrito tra i due cubi è

\[\boxcolorato{fisica}{\mu_d = \dfrac{1}{g(M+m)} \; \left(F- M \dfrac{2d}{t_1^2}\right).}\]

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 37 esercizi risolti, contenuti in 131 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione dei moti relativi in meccanica classica.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     






    Document