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Esercizio sistemi di punti materiali 39

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio sui sistemi di punti materiali 39 rappresenta il trentanovesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 38, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 40.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

 

Testo esercizio sistemi di punti materiali 39

Esercizio 39 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un insetto di massa m si trova inizialmente fermo all’estremità di un’asta lunga \ell e di massa M, posta su un piano orizzontale liscio. L’insetto inizia a muoversi verso l’altro estremo dell’asta con velocità, rispetto al piano, \vec{v}_m. La velocità \vec{v}_m è costante in modulo, direzione e verso, la direzione è parallela al piano orizzontale e il verso è indicato in figura. Determinare il tempo t=t^\star impiegato dall’insetto per raggiungere l’altra estremità dell’asta.

 

 

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Svolgimento.

Prima di addentrarci nei calcoli, facciamo delle considerazioni di carattere fisico. L’insetto, muovendosi su un’asta appoggiata su un piano senza attrito, spingerà verso l’indietro l’asta, che quindi inizierà a sua volta a muoversi. L’effetto è lo stesso identico che si ha quando tuffandosi in mare da una barca di piccole dimensioni, la barca si allontana da noi. Tale effetto in fisica è conosciuto come legge di azione e reazione: se un corpo A esercita una forza su un corpo B, allora il corpo B eserciterà sul corpo A una forza uguale in modulo e contraria in direzione. Consideriamo il sistema fisico composto da m e M. Definiamo un sistema di riferimento fisso Ox, tale per cui l’asse delle x sia coincidente con il piano orizzontale. Tra mosca e asta c’è attrito. La massa M esercita una forza di attrito statico \vec f su m e di conseguenza, per il terzo principio della dinamica, m esercita una forza -\vec f su M. Le due forze di attrito sono nella direzione orizzontale e sono forze interne al sistema fisico in esame. Dato che nella direzione orizzontale non ci sono forze esterne, la quantità di moto totale del sistema fisico in esame in questa direzione si conserva. La quantità di moto iniziale del sistema è nulla, P_{\text{tot}_i}=0. Chiamiamo \Vec{P}_{\text{tot}_f} la quantità di moto nella direzione orizzontale nel generico istante t>0. Per la conservazione della quantità di moto nella direzione orizzontale si ha

(1) \begin{equation*} \Vec{P}_{\text{tot}_f} = \Vec{P}_{\text{tot}_i} =0, \end{equation*}

dove la quantità di moto totale è data dalla somma (vettoriale) della quantità di moto dell’asta e di quella della mosca. Indicando con \vec v_m la velocità della mosca rispetto al sistema di riferimento Ox e con \vec v_a quella dell’asta rispetto al sistema di riferimento Ox. Avvalendoci di quanto detto la precedente equazione diventa

(2) \begin{equation*} m\vec{v}_m + M\Vec{v}_{a} = 0; \end{equation*}

passando poi alle componenti dei vettori e tenendo conto che il problema è unidimensionale, scriveremo

(3) \begin{equation*} mv_m + Mv_{a} = 0, \end{equation*}

da cui se ne ricava che

(4) \begin{equation*} v_a =- \frac{m}{M}v_m. \end{equation*}

Il segno meno al membro destro della precedente equazione indica che la componente orizzontale della velocità dell’asta è opposta a quella della mosca. Definiamo un secondo sistema di riferimento O^\prime x^\prime solidale con l’asta tale per cui x^\prime \equiv x e l’origine O^\prime sia coincidente con l’insetto all’istante t=0. Sia v_r la velocità relativa dell’insetto rispetto al sistema di riferimento O^\prime x^\prime. Dunque, per il teorema delle velocità relative, abbiamo

(5) \begin{equation*} v_{r} = v_m- v_a. \end{equation*}

Mettendo a sistema la precedente equazione con l’equazione (4) si trova

(6) \begin{equation*} v_{r} = v_m- \left(-\frac{m}{M}v_m\right)=\dfrac{v_m\left(m+M\right)}{M}. \end{equation*}

Siccome v_m è costante dalla precedente equazione possiamo concludere che v_r è costante e quindi l’insetto nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime si muove di moto rettilineo uniforme. Nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime la legge oraria dell’insetto è

(7) \begin{equation*} x^\prime(t) = v_r t. \end{equation*}

Imponendo x^\prime(t)=\ell (cioè che l’insetto percorra tutta l’asta) dalla precedente equazione si ha

(8) \begin{equation*} t =t^\star= \frac{\ell}{v_r}=\dfrac{\ell M}{v_m\left(m+M\right)}. \end{equation*}

Si conclude che

\[\boxcolorato{fisica}{ t =t^\star=\dfrac{\ell M}{v_m\left(m+M\right)}.}\]


 

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    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
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    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
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