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Funzioni continue – Teoria

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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Le funzioni continue sono forse tra le più importanti della matematica. Il concetto di continuità esprime infatti l’idea che il valore di un oggetto in un punto sia “vicino” ai valori assunti in punti vicini, ossia la nozione intuitiva di variazione “senza scatti istantanei”.
Questa proprietà implica numerose altre caratteristiche, essenziali nello studio degli oggetti matematici che le possiedono.

Questa dispensa completa espone il concetto di continuità per funzioni reali di una variabile reale, discutendo i seguenti argomenti fondamentali:

  • Definizione di continuità;
  • Continuità delle funzioni elementari e operazioni con le funzioni continue;
  • Caratterizzazione della continuità per successioni, ossia la versione del teorema ponte per funzioni continue;
  • Discontinuità e loro classificazione, inclusa la caratterizzazione delle discontinuità di funzioni monotone;
  • Teoremi sulle funzioni continue, tra cui il teorema della permanenza del segno, il teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi, il teorema di Weierstrass sui massimi e minimi;
  • Il concetto di continuità uniforme e relativo teorema di Heine-Cantor;
  • Funzioni lipschitziane, hölderiane, loro relazioni col concetto di continuità uniforme e teorema delle contrazioni.

Il testo, oltre a offrire una presentazione chiara della teoria, ne fornisce delle spiegazioni intuitive e motivate da numerosi esempi, figure ed esercizi.

Se desideri scoprire questi affascinanti concetti della matematica, preparati a sfogliare questa dispensa completa e accessibile!

Oltre all’esaustiva lista alla fine dell’articolo, segnaliamo le seguenti raccolte di esercizi su questo importante argomento:

 

Sommario

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Questa dispensa riguarda la continuità di funzioni reali di variabile reale. Dopo aver discusso la continuità delle funzioni elementari e la sua caratterizzazione mediante le successioni (attraverso il cosiddetto “teorema ponte”), presentiamo i principali teoremi riguardanti le funzioni continue, seguiti dalle nozioni di continuità uniforme, lipschitzianità e hölderianità. Gli esercizi relativi agli argomenti qui trattati sono raccolti nella dispensa [15, esercizi sulla continuità].

 
 

Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia

Revisori: Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.


 
 

Introduzione

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La parola “funzione” appare per la prima volta verso la fine del XVII secolo, nella corrispondenza tra Leibniz (1646 – 1716) e Johann Bernoulli (1667 – 1748); tuttavia, è solo con Eulero (1707 – 1783) che questo concetto si afferma come uno dei principali strumenti dell’analisi. Proprio ad Eulero si deve, infatti, la prima sistemazione della meccanica newtoniana nel linguaggio del calcolo differenziale. L’idea che Eulero e i matematici del Settecento hanno della matematica è comunque lontana da quella moderna: per loro le funzioni elementari note sono poche e una funzione è semplicemente un’espressione analitica, ovvero una combinazione lineare o una composizione di funzioni elementari. Per Eulero, una funzione continua è una funzione che è espressa con un un’unica espressione analitica su tutto il dominio. In tal senso, per esempio, la funzione |x| definita a tratti come

\[|x| = \begin{cases} x \; \; \quad \mbox{ se } x \geq 0,\\ - x \quad \mbox{altrimenti} \end{cases}\]

è discontinua. All’inizio dell’ottocento vi è una revisione del concetto di funzione, necessaria per la dimostrazione rigorosa di alcuni risultati, come ad esempio il teorema degli zeri sulle funzioni continue. Si inizia dunque ad affermare la concezione moderna di funzione come corrispondenza tra due insiemi.

In concomitanza a tale ampliamento di vedute, si fanno sempre più sentire esigenze di precisione: nel secolo precedente tutte le funzioni, in ogni caso quelle che valesse la pena studiare, erano quantomeno continue; tuttavia, con l’introduzione di funzioni più generali e sempre più irregolari, diventa necessario precisare la nozione di continuità e rendere esplicite le condizioni che garantiscono la validità dei teoremi. Un primo esempio di “nuove funzioni” di questo periodo è la celebre funzione introdotta da Dirichlet (1805 – 1859) da cui prende il nome e che vale 1 sui punti razionali e 0 nei punti irrazionali:

\[D(x) = \begin{cases} 1 \quad \mbox{se $ x \in \mathbb{Q}$,} \\ 0 \quad \mbox{se $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}.$} \end{cases}\]

In questo contesto, dapprima prevale l’impostazione di Lagrange (1736 – 1813), che richiede che tutte le funzioni siano sviluppabili in serie di potenze, cioè siano esprimibili nella forma

\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n.\]

Successivamente, si afferma la visione di Cauchy (1789 – 1857) che è, con minime variazioni, quella ancora in uso. Nel suo Course d’analyse, Cauchy introduce la nozione di funzione continua mediante l’uguaglianza tra il valore della funzione in un punto e quello del limite della funzione nel punto stesso, come presentata ad esempio in [6].

La dispensa si sviluppa nel modo seguente. Nella sezione 2 viene definito il concetto di funzione continua e, successivamente, viene dimostrata la continuità delle funzioni elementari e della composizione di funzioni continue. La sezione 3 è interamente dedicata alla caratterizzazione della continuità mediante l’uso di successioni ed alle sue applicazioni. Nella sezione 4 viene enunciata la definizione di discontinuità seguita dall’analisi dei diversi tipi di discontinuità. Successivamente, la sezione 5 contiene gli enunciati e le dimostrazioni dei principali teoremi riguardanti le funzioni continue: il teorema della permanenza del segno, il teorema degli zeri, il teorema dei valori intermedi e il teorema di Weierstrass. La sezione 6 è dedicata interamente al concetto di uniforme continuità. Nella sezione 6.2 viene enunciato e dimostrato il teorema di Heine-Cantor, che lega il concetto di uniforme continuità e continuità. Infine, nelle sezioni 6.3 e 6.4 sono introdotti i concetti di funzione lipschitziana e funzione hölderiana, rispettivamente, e le loro relazioni con i concetti di continuità e uniforme continuità. Diverse tipologie di esercizi sugli argomenti trattati in questa dispensa sono raccolte nella dispensa [15, esercizi sulla continuità].


 

Continuità

Definizione.

Dal punto di vista informale, una funzione f è continua in un punto x_0 se i valori f(x) sono “vicini” a f(x_0) quando x è “vicino” a x_0. Formalizziamo questa idea nella definizione rigorosa di funzione continua.

Definizione 2.1 (funzione continua in un punto). Sia A \subseteq \mathbb{R}. Una funzione f: A \to \mathbb{R} si dice continua in x_0\in A se x_0 è un punto isolato di A oppure se

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).\]

\[\quad\]

Tale definizione conferma l’intuizione che una funzione f è continua in x_0 se ci possiamo avvicinare arbitrariamente al valore della funzione f(x_0) valutando f in punti opportunamente vicini a x_0.

Osservazione 2.2 (continuità nei punti isolati). La definizione di continuità distingue quindi il caso in cui x_0 sia isolato. Il motivo di tale distinzione è che nel caso in cui il punto x_0 è isolato, il limite di f in x_0 non è definito. Ciononostante, se x_0 è isolato, è intuitivamente chiaro che f(x) è vicino a f(x_0) per x vicino a x_0, in quanto l’unico x arbitrariamente vicino a x_0 è x_0 stesso.

\[\quad\]

\[\quad\]

funzioni continue

Figura 1: grafico (in blu) della funzione f dell’esempio 2.3. Si osservi che f è continua in 0 (in quanto punto isolato del dominio) e in 2, ma non è continua in -1. Intuitivamente, se x è vicino a 2, allora f(x) è vicino a f(2); invece se x è vicino a -1, f(x) non è vicino a f(-1).

\[\quad\]

Esempio 2.3. Sia A=[-2,1] \cup \{0\} \cup [1,3] e sia f \colon A \to \mathbb{R} la funzione definita da

(1) \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x & \text{se } x \in [-2,-1)\\ 0 & \text{se } x =-1 \text{ oppure } x =0\\ \sqrt{x} & \text{se } x \in [1,3]. \end{cases} \end{equation*}

Il grafico di f è rappresentato in blu in figura 1. Facciamo le seguenti osservazioni.

\[\quad\]

  • f è continua in x=2 in quanto

    (2) \begin{equation*} \lim_{x \to 2} f(x)=f(2). \end{equation*}

    Proveremo in seguito la validità di questo limite e, più in generale, che la funzione radice quadrata è continua.

    •  

  • f è continua in x=0 in quanto 0 è un punto isolato del dominio;

    •  

  • f non è continua in x=-1 in quanto è chiaro che \displaystyle \lim_{x \to -1} f(x)=-1, ma f(-1)=0.

Proposizione 2.4. Siano A \subseteq \mathbb{R}, f \colon A \to \mathbb{R} e sia x_0 \in A. Allora f è continua in x_0 se e solo se, per ogni \varepsilon>0, esiste \delta>0 tale che

\begin{equation*} |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A. \end{equation*}

\[\quad\]

Infine, enunciamo la definizione di funzione continua in un insieme.

Definizione 2.5 (funzione continua). Sia A \subseteq \mathbb{R}. Una funzione f\colon A \to \mathbb{R} si dice continua in E \subseteq A se è continua in ogni punto di E. La funzione f si dice continua se è continua in tutto il suo dominio A e in tal caso si scrive

(3) \begin{equation*} f \in C^0(A) \qquad \text{oppure} \qquad f \in C(A). \end{equation*}

I simboli C^0(A) e C(A) denotano l’insieme delle funzioni continue in A.

\[\quad\]


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