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Esercizi sui moti vari – 2

Moti vari nella cinematica

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Benvenuti nel secondo volume di esercizi sui moti vari. In questo articolo proponiamo 17 esercizi sulla descrizione e le proprietà dei moti che i corpi possono assumere nello spazio. I problemi sono di difficoltà varia, illustrati e ciascuno è corredato di soluzione completa, così da consentire al lettore di confrontare la sua soluzione con quella da noi proposta, per un apprendimento più efficace.

Oltre al primo volume di Esercizi sui moti vari – 1, consigliamo le seguenti raccolte di esercizi su materiale affine:

Buona lettura!

 

Sommario

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Questo è il secondo volume dedicato agli esercizi sui moti vari in cinematica. Rispetto al primo, si distingue per il livello di difficoltà maggiore, presentando esercizi più complessi. Alcuni di questi esercizi, non convenzionali, richiedono astuzia e solide conoscenze matematiche. In particolare, gli esercizi finali possono costituire un valido ripasso per chi si appresta a seguire un corso di meccanica razionale o desidera prepararsi adeguatamente. Questo volume è particolarmente indicato per studenti di matematica o fisica. La dispensa presenta 17 esercizi.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Antonio Figura, Niccolò Cocciaglia.

Revisori: Cesare Malagù.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale è vincolato a muoversi lungo una retta. Scelto un sistema di riferimento fisso Ox tale per cui l’asse delle x sia coincidente con la retta lungo la quale il punto materiale è vincolato a muoversi, la posizione del punto materiale è data dalla seguente legge oraria

(1) \begin{equation*} x(t)=t^3-3 t+1, \end{equation*}

dove t è espresso in secondi e x in metri. Calcolare l’istante t\geq0 in cui la velocità e l’accelerazione hanno lo stesso valore numerico.

Richiami teorici.

Di seguito ricordiamo alcuni fatti che possono tornare utili per la risoluzione dell’esercizio.

\[\quad\]

  1. Sia f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, f(t) = t^{\alpha} con \alpha \in \mathbb{R}, la sua derivata è f^{\prime}(t) = \alpha\, t^{\alpha-1}. Inoltre, ricordiamo che la derivata di una costante è nulla.

    2.  

  2. Data un’equazione completa di secondo grado

    (2) \begin{equation*} at^2 + bt + c = 0 \end{equation*}

    con a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} e b,\,c \in \mathbb{R}, la formula risolutiva è

    (3) \begin{equation*} t_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \end{equation*}

    dove

    (4) \begin{equation*} \Delta \coloneqq b^2 - 4ac. \end{equation*}

    Il \Delta si chiama discriminante. Se \Delta > 0 allora l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte; se \Delta = 0 allora l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti; altrimenti, se \Delta < 0, l’equazione non ammette soluzioni reali, cioè ci sono due soluzioni complesse e coniugate.

    In fisica, t_{1,2} rappresentano degli istanti di tempo che in generale devono essere non negativi, per cui se uno dei due tempi è negativo, va scartato.

    3.  

  3. La derivata del vettore posizione è la velocità e si denota con

    (5) \begin{equation*} \dot{x}(t) = \dfrac{dx}{dt}; \end{equation*}

    mentre la derivata seconda del vettore posizione (o la derivata prima della velocità) è l’accelerazione del corpo e si denota con

    (6) \begin{equation*} \ddot{x}(t) = \dfrac{d^2x}{dt^2}. \end{equation*}


Svolgimento.

Utilizziamo come notazione x(t), x^{\prime}(t) e x^{\prime\prime}(t) per rappresentare rispettivamente la la posizione, la velocità e l’accelerazione del punto materiale. Derivando ambo i membri della legge oraria rispetto al tempo, si ricava che l’equazione della velocità è

(7) \begin{equation*} \dot{x}(t)=3t^2-3, \end{equation*}

mentre l’equazione dell’accelerazione

(8) \begin{equation*} \ddot{x}(t)=6t. \end{equation*}

Uguagliando le due precedenti equazioni, si ottiene

(9) \begin{equation*} 3t^2-3=6t, \end{equation*}

o anche

(10) \begin{equation*} 3t^2-6t-3=0, \end{equation*}

da cui Utilizziamo come notazione x(t), x^{\prime}(t) e x^{\prime\prime}(t) per rappresentare rispettivamente la la posizione, la velocità e l’accelerazione del punto materiale. Derivando ambo i membri della legge oraria rispetto al tempo, si ricava che l’equazione della velocità è

(11) \begin{equation*} \dot{x}(t)=3t^2-3, \end{equation*}

mentre l’equazione dell’accelerazione

(12) \begin{equation*} \ddot{x}(t)=6t. \end{equation*}

Uguagliando le due precedenti equazioni, si ottiene

(13) \begin{equation*} 3t^2-3=6t, \end{equation*}

o anche

(14) \begin{equation*} 3t^2-6t-3=0, \end{equation*}

da cui

\[\boxcolorato{fisica}{t \simeq \text{2,414 s}.}\]


 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale è vincolato a muoversi lungo una retta di moto vario. Si scelga un sistema di riferimento fisso Ox con l’asse delle x coincidente con la retta lungo la quale il punto materiale è vincolato a muoversi. Sia x(t) la legge oraria del corpo in Ox. Nel sistema di riferimento Ox il punto materiale ha un’accelerazione \ddot{x}(t)=2 t-3. La posizione x(t) soddisfa le seguenti condizioni x(0)=0 e x(3)=5. Si richiede di calcolare dove si trova il punto materiale all’istante t=12 \,\textbf{s}.

Richiami teorici.

Chiamiamo x(t), \dot{x}(t) e \ddot{x}(t) rispettivamente la legge oraria, la velocità e l’accelerazione del punto materiale nel sistema di riferimento Ox.

Per ottenere l’equazione per la velocità è necessario integrare ambo i membri rispetto al tempo dell’equazione per l’accelerazione, e a sua volta l’equazione per la posizione è ottenuta integrando ambo i membri rispetto al tempo l’equazione della velocità. Una volta integrato ambo i membri rispetto al tempo dell’equazione considerata (accelerazione o velocità), imponendo le condizioni iniziali del problema è possibile determinare le costanti di integrazione, da cui le leggi cercate. La relazione che lega posizione, velocità e accelerazione può essere riassunta nel seguente schema rappresentato in figura.

\[\quad\]

\[\quad\]

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

\[\quad\]

\[\quad\]

Inoltre, ricordiamo l’integrale di una funzione polinomiale. Sia f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, f(t)=t^{\alpha} con \alpha \in \mathbb{R}\setminus\{-1\}, il suo integrale indefinito è

(15) \begin{equation*} \int f(t)\, dt=\frac{1}{\alpha+1} t^{\alpha+1} + c, \end{equation*}

dove c è la costante d’integrazione.


Svolgimento.

Consideriamo

(16) \begin{equation*} \ddot{x}(t)=2 t-3. \end{equation*}

Integrando ambo i membri rispetto al tempo la precedente equazione, si ottiene

(17) \begin{equation*} \dot{x}(t)=t^2-3t+c, \end{equation*}

dove c è una costante di integrazione da determinare.

Integrando rispetto al tempo ambo i membri la precedente equazione, si trova

(18) \begin{equation*} x(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+ct+k, \end{equation*}

dove k è una costante di integrazione da determinare.

Per poter determinare il valore numerico delle costanti c e k imponiamo x(0)=0 e x(3)=5. Sfruttando la precedente equazione e imponendo le condizioni x(0)=0 e x(3)=5, si ottiene il seguente sistema

(19) \begin{equation*} \begin{cases} 0=k\\[10pt] 5=9-\dfrac{27}{2}+3c+k, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(20) \begin{equation*} \begin{cases} k=0\\[10pt] c=\dfrac{19}{6}. \end{cases} \end{equation*}

Sostituendo le costanti trovate nel precedente sistema nell’equazione (18), si ottiene

(21) \begin{equation*} \boxed{x(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+\frac{19t}{6}.} \end{equation*}

Sostituendo nella precedente equazione t=12 \,\textbf{s}, si ha

\[\boxcolorato{fisica}{x(12)=398\, \text{m}.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale è vincolato a muoversi su di una retta. Si scelga un sistema di riferimento fisso Ox con l’asse delle x coincidente con la retta lungo la quale è vincolato a muoversi il punto materiale. Sia x(t) la legge oraria del punto materiale in Ox. L’accelerazione del punto materiale è \ddot{x}(t)=t^2+1. Le condizioni del problema sono x(0)=0 e \dot{x}(3)=7\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}. Calcolare la posizione del punto materiale all’istante t=8 \,\textbf{s}.

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