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Esercizio moti relativi 17

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio sui moti relativi 17 è il diciassettesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 18, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 16. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 17

Esercizio 17 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Si consideri una piattaforma libera di ruotare attorno al suo asse, in cui sia praticata una scanalatura passante per il suo centro O. Nella scanalatura è posta una massa m collegata al punto P mediante una molla ideale di massa trascurabile, costante elastica k e lunghezza a riposo pari al raggio R della piattaforma; la massa è libera di oscillare lungo la scanalatura senza attrito. Quando la piattaforma ruota attorno al proprio asse con velocità angolare \vec{\Omega} costante in modulo, direzione e verso, la massa si muove di moto armonico lungo la scanalatura con periodo di oscillazione \widetilde{T}.
Si esprima \widetilde{T} in funzione del periodo T che si osserverebbe se la piattaforma fosse ferma, trascurando ogni forma di attrito e assumendo k - m \Omega^2 > 0.

 

 

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Figura 1: schema del problema.

 

Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


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