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Esercizio leggi della dinamica 46

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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L’esercizio 46 sulle leggi della dinamica è il quarantaseiesimo della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Leggi di Newton in meccanica classica. Questo esercizio è il successivo di Esercizio leggi della dinamica 45 ed è il precedente di Esercizio leggi della dinamica 47. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo leggi della dinamica 46

Esercizio 46 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m è fissato ad una estremità di una molla di massa trascurabile e costante elastica k, avente l’altra estremità fissata a una parete fissa; tra il corpo e la superficie d’appoggio c’è attrito. I coefficienti di attrito \mu_s e \mu_d sono rispettivamente il coefficiente di attrito statico e il coefficiente di attrito dinamico. All’istante t=0 la molla ha lunghezza di riposo, mentre il blocco ha velocità \vec{v}_0, come indicato in figura 1, di modulo v_0. La velocità \vec{v}_0 è rispetto al piano orizzontale ed è parallela ad esso.
Supponendo che

(1) \begin{equation*} \dfrac{\mu_dg}{\omega^2} \cos\left( \arctan\left(\dfrac{v_0\omega}{\mu_dg}\right)\right) + \dfrac{v_0}{\omega} \sin\left(\arctan\left(\dfrac{v_0\omega}{\mu_dg}\right)\right) - \dfrac{\mu_dg}{\omega^2}>0, \end{equation*}

si richiede di calcolare

  1. che spazio percorre il corpo prima di fermarsi;
  2. che condizione deve valere per il corpo m nel primo istante t>0 affinché rimanga fermo.

 

 

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Schema del problema leggi della dinamica 46. Un corpo di massa m è collegato a una molla di costante elastica k, fissata a una parete verticale. Il corpo si muove inizialmente con velocità v₀ orizzontale su una superficie con attrito, mentre la molla si trova nella sua lunghezza di riposo.

Svolgimento Punto 1.

Inizialmente, il corpo di massa m si trova su un piano orizzontale attaccato ad una molla che si trova nella posizione a riposo (si veda la figura 1). All’istante iniziale t=0, il corpo possiede una velocità pari ad \vec{v}_0 che diminuisce nel tempo dal momento che il corpo è rallentato dalla forza della molla \vec{F}_\text{M} e dalla forza di attrito dinamico \vec{f}_d generata dal contatto con il piano scabro. Inoltre, sul corpo agiscono anche la reazione vincolare \vec{N}, dovuta al contatto con il piano orizzontale, e la forza peso m\vec{g}. In figura 2 rappresentiamo il moto del corpo in un generico istante t>0 e tutte le forze applicate ad esso. Si osservi che, dunque, il corpo ha velocità in modulo pari ad v(t)<v_0,\ mentre la molla si allunga prima di arrestarsi.

 

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Ricordiamo ora quanto segue. Il secondo principio della dinamica afferma che in un sistema di riferimento inerziale la somma di tutte le forze agenti su un punto materiale uguaglia la derivata della quantità di moto rispetto al tempo, cioè

(2) \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=\dfrac{d\vec{P}}{dt} \end{equation*}

dove \vec{P}=m\vec{v}. La velocità \vec{v} va riferita rispetto ad un sistema inerziale. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, con O centrato nella posizione a riposo della molla da dove osserviamo il moto del corpo m quando si trova in una generica posizione x(t), come rappresentato in figura 3.

 

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Applichiamo (2) ad m, ottenendo

(3) \begin{equation*} \vec{F}_\text{M}+\vec{f}_d+\vec{N}+m\vec{g}=\dfrac{d\vec{P}}{dt}. \end{equation*}

Sia \hat{x} il versore dell’asse delle x. Osserviamo che

(4) \begin{equation*} \dfrac{d\vec{P}}{dt}=\dfrac{d\left(m\vec{v}\right)}{dt}=m\dfrac{d\left(v\,\hat{x}\right)}{dt}=m\dfrac{d\dot{x}}{dt}\,\hat{x}=m\ddot{x}\,\hat{x}, \end{equation*}

dove si è usato il fatto che m non dipende dal tempo. Confrontando (6) con (7), si ottiene

(5) \begin{equation*} \vec{F}_\text{M}+\vec{f}_d+\vec{N}+m\vec{g}=m\ddot{x}\,\hat{x}. \end{equation*}

e scomponendo le forze lungo l’asse x abbiamo

(6) \begin{equation*} F_\text{M}-f_d=m\ddot{x}, \end{equation*}

mentre lungo l’asse y

(7) \begin{equation*} N-mg=0. \end{equation*}

Mettiamo a sistema le equazioni (6) e (7), ottenendo

(8) \begin{equation*} \begin{cases} F_\text{M}-f_d=m\ddot{x}\\ N-mg=0. \end{cases} \end{equation*}

Ricordando che F_\text{M}=-kx e f_d = N \mu_d, il sistema (7) diventa

(9) \begin{equation*} \begin{cases} -kx-N \mu_d=ma\\ N-mg=0. \end{cases} \end{equation*}

Dal precedente sistema, si ottiene

(10) \begin{equation*} -kx-mg\mu_d=ma=m\ddot{x} \quad \Leftrightarrow \quad \ddot{x}+\omega^2x+\mu_dg=0, \,\, \text{con}\,\, \omega^2=\dfrac{k}{m}, \end{equation*}

che è un equazione differenziale del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti che come è noto ha soluzione generale del tipo[1]

(11) \begin{equation*} x(t)=C_1\cos(\omega t)+C_2 \sin(\omega t)-\dfrac{\mu_dg}{\omega^2}, \end{equation*}

dove C_1 e C_2 sono delle costanti. Deriviamo ambo i membri della precedente equazione, trovando

(12) \begin{equation*} \dot{x}(t)=-C_1\omega\sin(\omega t)+C_2\omega \cos(\omega t). \end{equation*}

Le equazioni (11) e (12) sono valide per t\geq 0. Le condizioni iniziali sono

(13) \begin{equation*} x(0)=0 \qquad \mbox{e} \qquad \dot{x}(0)=v_0. \end{equation*}

Sostituendo t=0 nelle equazioni (11) e (12) e confrontandole con l’equazione (13), si ottiene

(14) \begin{equation*} \begin{cases} x(0)=0 \\\\ \dot{x}(0)=v_0 =v_0 \\\\ \end{cases} \Leftrightarrow \quad \displaystyle \begin{cases} C_1-\dfrac{\mu_dg}{\omega^2}=0\\ \\ C_2\omega =v_0, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(15) \begin{equation*} C_1 = \dfrac{\mu_dg}{\omega^2} \qquad \mbox{e} \qquad C_2 = \dfrac{v_0}{\omega}. \end{equation*}

Confrontando le equazioni (11) e (12) con la precedente equazione, otteniamo rispettivamente

(16) \begin{equation*} \boxed{x(t) = \dfrac{\mu_dg}{\omega^2} \cos(\omega t) + \dfrac{v_0}{\omega} \sin(\omega t) - \dfrac{\mu_dg}{\omega^2}.} \end{equation*}

e

(17) \begin{equation*} \boxed{v(t) = - \dfrac{\mu_dg}{\omega} \sin(\omega t) + v_0 \cos(\omega t) .} \end{equation*}

Posto v(t)=0, dall’equazione (17) si trova

(18) \begin{equation*} t\equiv t^\star=\dfrac{1}{\omega} \arctan\left(\dfrac{v_0\omega}{\mu_dg}\right). \end{equation*}

Sostituendo il tempo t^\star appena trovato in x(t), abbiamo

(19) \begin{equation*} x(t^\star)\equiv x^\star = \dfrac{\mu_dg}{\omega^2} \cos\left( \arctan\left(\dfrac{v_0\omega}{\mu_dg}\right)\right) + \dfrac{v_0}{\omega} \sin\left(\arctan\left(\dfrac{v_0\omega}{\mu_dg}\right)\right) - \dfrac{\mu_dg}{\omega^2}. \end{equation*}

Quindi la risposta al primo punto del problema è

\[\boxcolorato{fisica}{ x^\star = \dfrac{\mu_dg}{\omega^2} \cos\left( \arctan\left(\dfrac{v_0\omega}{\mu_dg}\right)\right) + \dfrac{v_0}{\omega} \sin\left(\arctan\left(\dfrac{v_0\omega}{\mu_dg}\right)\right) - \dfrac{\mu_dg}{\omega^2}.}\]

 

Svolgimento Punto 2.

Quando il corpo si ferma, su di esso agiscono la forza di attrito statico \vec{f}_s e la forza della molla in modulo pari ad kx^\star, entrambe dirette lungo l’asse delle x, come riportato nella figura 4.

 

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Affinché il corpo m rimanga in quiete, deve valere la seguente disuguaglianza

(20) \begin{equation*} \left \vert \vec{f}_s\right \vert \leq N\mu_s. \end{equation*}

Per la seconda legge della dinamica, nel caso di quiete, si ha

(21) \begin{equation*} \begin{cases} \left \vert \vec{f}_s\right \vert=kx^\star\\[10pt] N=mg. \end{cases} \end{equation*}

Grazie al precedente sistema la disuguaglianza (20) diventa

(22) \begin{equation*} kx^\star\leq mg\mu_s. \end{equation*}

Se la diseguaglianza (22) è verificata il corpo rimane fermo, altrimenti entra di nuovo in movimento. La risposta la punto 2 del problema è

\[\boxcolorato{fisica}{ k\left( \dfrac{\mu_dg}{\omega^2} \cos\left( \arctan\left(\dfrac{v_0\omega}{\mu_dg}\right)\right) + \dfrac{v_0}{\omega} \sin\left(\arctan\left(\dfrac{v_0\omega}{\mu_dg}\right)\right) - \dfrac{\mu_dg}{\omega^2}\right)\leq mg\mu_s,}\]

dove abbiamo usato il risultato ottenuto al primo punto del problema.

 

  1. Si può dimostrare tale soluzione ad esempio ricorrendo al metodo della somiglianza o il metodo delle variazioni delle costanti. ↩

 

 


 
 

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    Un po’ di storia sulle leggi della dinamica

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    Le leggi della dinamica rappresentano uno dei pilastri fondamentali della fisica classica. Formulate da Isaac Newton nel XVII secolo, queste leggi hanno rivoluzionato la nostra comprensione del movimento e delle forze, gettando le basi per la fisica moderna. La storia delle leggi della dinamica inizia con le prime intuizioni pre-scientifiche e arriva fino alle scoperte rivoluzionarie di Newton, estendendosi al loro impatto duraturo sulla scienza e sulla tecnologia contemporanea.

    Prima di Newton, la comprensione del movimento e delle forze era dominata dalle idee di Aristotele, un filosofo greco del IV secolo a.C. Aristotele credeva che tutti i corpi avessero un “luogo naturale” e che si muovessero solo quando una forza esterna agiva su di essi. Questa visione, conosciuta come “fisica aristotelica”, affermava che un oggetto in movimento si fermava automaticamente una volta cessata la forza che lo spingeva. Questa concezione aristotelica rimase predominante per secoli, influenzando profondamente la filosofia naturale. Tuttavia, presentava limitazioni significative, specialmente nella spiegazione di fenomeni come il moto dei pianeti o il comportamento dei proiettili. Nonostante i suoi limiti, la fisica aristotelica gettò le basi per lo sviluppo successivo delle leggi della dinamica.

    Un punto di svolta nella comprensione del movimento fu segnato da Galileo Galilei, un matematico e fisico italiano del XVI secolo. Galileo sfidò molte delle idee di Aristotele, introducendo concetti che sarebbero stati fondamentali per la formulazione delle leggi della dinamica. Galileo fu il primo a dimostrare che la velocità di caduta di un oggetto non dipende dalla sua massa, ma dal tempo trascorso. Egli introdusse il concetto di inerzia, l’idea che un corpo in movimento rimane in movimento a meno che una forza esterna non intervenga. Questo principio di inerzia costituì la base della Prima legge di Newton, una delle tre leggi della dinamica che avrebbero rivoluzionato la fisica. Oltre a queste scoperte, Galileo sviluppò la metodologia scientifica basata sull’osservazione e l’esperimento, ponendo le basi per la fisica moderna. Le sue idee furono cruciali per la successiva formulazione delle leggi della dinamica da parte di Newton.

    Isaac Newton, uno dei più grandi scienziati della storia, formulò le leggi della dinamica nel suo capolavoro “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”, pubblicato nel 1687. Le tre leggi di Newton descrivono il comportamento del movimento e delle forze in modo preciso e matematico, fornendo una base solida per la meccanica classica. La Prima legge della dinamica, nota anche come legge dell’inerzia, afferma che un corpo in stato di quiete o di moto rettilineo uniforme rimane in tale stato finché non agisce su di esso una forza esterna. Questa legge formalizza il concetto introdotto da Galileo, stabilendo che il movimento non richiede una forza continua per essere mantenuto, ma solo per essere alterato. La legge dell’inerzia fu rivoluzionaria perché sfidava direttamente la fisica aristotelica, dimostrando che il moto non è il risultato di un’azione continua ma di una condizione naturale degli oggetti.

    La Seconda legge della dinamica, forse la più famosa delle tre, stabilisce che la forza che agisce su un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa e alla sua accelerazione, secondo la formula F = ma. Questa legge descrive come le forze influenzano il movimento degli oggetti e fornisce una base per calcolare le forze necessarie per muovere o fermare un oggetto. Questa legge è stata fondamentale per lo sviluppo della meccanica classica, permettendo di comprendere e prevedere con precisione il comportamento degli oggetti sotto l’influenza di forze diverse. È grazie a questa legge che possiamo spiegare fenomeni quotidiani, come la caduta di un oggetto o il lancio di un proiettile, con una precisione matematica.

    La Terza legge della dinamica è forse la più intuitiva: afferma che per ogni azione esiste una reazione uguale e contraria. Questo significa che quando un oggetto esercita una forza su un altro, il secondo oggetto esercita una forza uguale e opposta sul primo. Questa legge è evidente in molti fenomeni quotidiani, come il rimbalzo di una palla o il funzionamento di un razzo. La comprensione di questa legge è essenziale per l’ingegneria e la tecnologia moderne, poiché spiega come le forze interagiscono in sistemi complessi.

    Le leggi della dinamica di Newton hanno avuto un impatto profondo e duraturo sulla fisica classica. Prima della loro formulazione, la comprensione del movimento e delle forze era frammentaria e spesso basata su osservazioni qualitative piuttosto che su principi matematici. Le leggi di Newton hanno fornito una struttura coerente e matematica per descrivere il comportamento degli oggetti in movimento, permettendo ai fisici di fare previsioni accurate e di sviluppare nuove tecnologie. Grazie alle leggi della dinamica, è stato possibile sviluppare la meccanica celeste, che spiega il movimento dei pianeti e delle stelle. Queste leggi hanno permesso di calcolare con precisione le orbite dei corpi celesti, confermando le teorie di Keplero e contribuendo alla comprensione dell’universo. Le leggi della dinamica hanno anche gettato le basi per l’ingegneria moderna, permettendo la progettazione di macchine, edifici e veicoli con una comprensione precisa delle forze in gioco. Senza le leggi di Newton, molte delle tecnologie che diamo per scontate oggi, come gli aerei, le automobili e i ponti, non sarebbero possibili.

    Con l’avvento della fisica moderna, alcune delle previsioni delle leggi della dinamica di Newton sono state riviste e ampliate. In particolare, la teoria della relatività di Einstein ha dimostrato che le leggi di Newton non sono sufficienti per descrivere il movimento a velocità prossime a quella della luce o in campi gravitazionali molto forti. Tuttavia, le leggi della dinamica rimangono valide e utili nella maggior parte delle situazioni quotidiane e continuano a essere insegnate come parte fondamentale della fisica.

     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.






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