Esercizio leggi della dinamica 45

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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L’esercizio 45 sulle leggi della dinamica è il quarantacinquesimo della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Leggi di Newton in meccanica classica. Questo esercizio è il successivo di Esercizio leggi della dinamica 44 ed è il precedente di Esercizio leggi della dinamica 46. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

Testo leggi della dinamica 45

Esercizio 45 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Le coordinate polari di un punto che si muove in un piano variano nel tempo secondo la legge $r(t)=r_0 e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}$ , $\theta = \omega t$ con $r_0,\omega \in \mathbb{R}$ . Calcolare la velocità del punto nell’istante $t=0$ e dire se il moto avviene sotto l’azione di una forza centrale. La distanza $r$ è il segmento che congiunge il punto materiale e un punto fisso nel piano (cioè il centro della possibile forza centrale). Inoltre, $\theta$ è l’angolo che forma $r$ con l’asse delle $x$ di un sistema di riferimento fisso $Oxy$ tale per cui $O$ sia il centro della possibile forza centrale.

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxyz$ per osservare il moto del punto in coordinate polari, come rappresentato in figura.

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Piano cartesiano con sistema di riferimento Oxy. Un vettore r parte dall'origine O e forma un angolo θ con l'asse x. Sono indicati anche i vettori θ con direzione perpendicolare a r e r con direzione radiale. Schema del problema per le leggi della dinamica 45.

Siano $\hat{x}$ e $\hat{y}$ i versori rispettivamente dell’asse delle $x$ e delle $y$ . Si ricorda che, data la parametrizzazione $\vec{r}= x \, \hat{x} + y \, \hat{y}$ del percorso $\gamma$ fatta dal punto materiale nel piano cartesiano, si definisce velocità vettoriale il limite del rapporto incrementale di $\vec{r}$ :

(1) $\begin{equation*} \lim_{h \to 0} \dfrac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h} = \vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}}{dt}(t). \end{equation*}$

Siano $\hat{r}$ e $\hat{\theta}$ rispettivamente il versore radiale e il verso trasverso. Esprimiamo $\vec{v}$ in coordinate polari introducendo i versori $\hat{r}$ ed $\hat{\theta}$ e da (1 abbiamo

(2) $\begin{equation*} \begin{aligned} \vec{v} & = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \dfrac{d(r \, \hat{r})}{dt} = \dfrac{dr}{dt} \, \hat{r} + r \, \dfrac{d\hat{r}}{dt} =\\[10pt] & = \dfrac{dr}{dt} \, \hat{r} + r \, \dfrac{d\theta}{dt} \, \hat{\theta}. \end{aligned} \end{equation*}$

Per ipotesi sappiamo che

(3) $\begin{equation*} r=r_0 e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}, \,\,\theta = \omega t \end{equation*}$

quindi, confrontando (3) con (2), si ottiene

(4) $\begin{equation*} \vec{v} = \underbrace{r_0 \left(-\dfrac{\omega}{2\pi}\right) \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \; \hat{r}}_{\vec{v}_r \; \text{velocità radiale}} + \underbrace{r_0 \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \; \omega \; \hat{\theta}}_{\vec{v}_\theta \; \text{velocità trasversa}}. \end{equation*}$

Valutiamo la velocità all’istante $t=0$ , ottenendo

$\boxcolorato{fisica}{\vec{v}(0) = - \dfrac{\omega \; r_0}{2\pi} \; \hat{r} + r_0 \, \omega \, \hat{\theta}.}$

Deriviamo ambo i membri dell’equazione (2) rispetto al tempo, ottenendo

(5) $\begin{equation*} \begin{aligned} \dfrac{d\vec{v}}{dt} & = \dfrac{d^2r}{dt^2} \, \hat{r} + \dfrac{dr}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} \; \hat{\theta} + \dfrac{dr}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} \; \hat{\theta} + r \; \dfrac{d^2\theta}{dt^2} \hat{\theta} - r \; \dfrac{d\theta}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} \hat{r} =\\[10pt] & = \hat{r} \left(\dfrac{d^2r}{dt^2}- r \left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right) + \hat{\theta} \left(2 \; \dfrac{dr}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} + r \; \dfrac{d^2\theta}{dt^2}\right) =\\[10pt] & = \hat{r} \left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r \left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right) + \hat{\theta} \; \dfrac{1}{r} \; \left(\dfrac{d\left(r^2 \frac{d\theta}{dt}\right)}{dt}\right). \end{aligned} \end{equation*}$

Sostituendo (3) in (5), otteniamo

(6) $\begin{equation*} \begin{aligned} \dfrac{d\vec{v}}{dt} & = \hat{r} \left(r_0 \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \left( \left(-\dfrac{\omega}{2\pi}\right)^2 - \omega^2 \right) \right) + \hat{\theta} \left(2 r_0 \left(- \dfrac{\omega}{2\pi}\right)\; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \; \omega \right) = \\[10pt] & = \hat{r} \left(\dfrac{r_0 \omega^2 (1-4\pi^2)}{4\pi^2} e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \right) + \hat{\theta} \left(- \dfrac{\omega^2 r_0}{\pi} \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}\right). \end{aligned} \end{equation*}$

Si ricorda che, in un campo di forze centrali il momento angolare rispetto al centro della forza rimane costante nel tempo, ovvero si conserva. Nel nostro sistema di riferimento prendiamo come polo della forza $O$ . Sia $\vec{L}_{O}$ il momento angolare rispetto al polo $O$ e $\vec{M}_{O}$ il momento della possibile forza centrale rispetto al polo $O$ . Allora per il teorema del momento angolare per un punto materiale

(7) $\begin{equation*} \begin{aligned} \dfrac{{}d\vec{L}_{O}}{dt} & ={\vec{M}_{O}} = \\ & = \vec{r} \wedge \vec{F} = \\[10pt] & = \vec{r} \wedge m \; \dfrac{d\vec{v}}{dt} =\\[10pt] & =m r\,\left(-\dfrac{\omega^2 r_0}{\pi} \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \right)\, \hat{r} \wedge \hat{\theta} = \\[10pt] & =m \left(r_0 e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}\right)\left(-\dfrac{\omega^2 r_0}{\pi} \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \right)\, \hat{r} \wedge \hat{\theta} = \\[10pt] & = -m \dfrac{\omega^2}{\pi} r_0^2 \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \hat{z} \neq 0, \end{aligned} \end{equation*}$

per ogni $t\geq0$ , dove $\hat{z}$ è il versore nella direzione dell’asse delle $z$ . Si conclude che $\vec{L}$ non si conserva, quindi il moto non avviene sotto una forza centrale.

Si osservi che, in generale, se una forza è centrale si conserva il momento angolare rispetto al centro della forza centrale, ma non vale il viceversa, ovvero che $\vec{L}$ costante rispetto ad un certo polo non implica che la forza sia centrale.

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