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Esercizi teorici sulla continuità

Continuità delle funzioni

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi teorici sulla continuità: in essi esploreremo delle condizioni equivalenti alla continuità in termini di immagini e controimmagini e vedremo nel dettaglio alcuni controesempi. Questo articolo si rivela quindi un alleato prezioso per lo studente che desidera approfondire la sua conoscenza sulla continuità delle funzioni e le sue versioni equivalenti, allo scopo di irrobustire la sua preparazione in vista dell’esame di Analisi Matematica 1.

Segnaliamo le nostre altre raccolte di esercizi sulle funzioni continue:

Oltre alla lista presente alla fine dell’articolo, ecco il materiale teorico di riferimento:

 

Autori e revisori

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Autori: Chiara Bellotti.

Revisori: Valerio Brunetti, Matteo Talluri.

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Testi degli esercizi

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Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una funzione continua in \mathbb{R}. È vero che per ogni A \subset \mathbb{R}, se A è aperto allora anche f^{-1}(A) è aperto?

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Svolgimento.

La risposta alla domanda è affermativa. Infatti, sia A\subseteq\mathbb{R} un aperto. Per ogni x_{0}\in f^{-1}(A) cerchiamo \delta>0 tale che

\[(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)\subseteq f^{-1}(A) \quad \iff \quad f(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)\subseteq A .\]

Sia y_{0}=f(x_{0}). Essendo A aperto per ipotesi, esiste \epsilon>0 tale che (y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon)\subseteq A. Prendendo come \delta=\delta(\varepsilon) quello dato dalla definizione di continuità, abbiamo che f(x_0-\delta,x_0+\delta) \subset (y_0-\varepsilon,y_0+\varepsilon).

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Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una funzione continua in \mathbb{R}. È vero che per ogni C\subset \mathbb{R}, se C è chiuso allora anche f^{-1}(C) è chiuso?

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Svolgimento.

La risposta è affermativa. Vediamo perchè. Essendo C\subseteq \mathbb{R} chiuso per ipotesi, il complementare \mathbb{R}\backslash C è aperto in \mathbb{R}. Ma allora, per l’esercizio 1, si ha che f^{-1}(\mathbb{R}\backslash C) è aperto. Tuttavia, osserviamo che

\[f^{-1}( C)=\mathbb{R}\backslash f^{-1}(\mathbb{R}\backslash C).\]

Segue che f^{-1}(C) è chiuso, in quanto complementare dell’aperto f^{-1}(\mathbb{R}\backslash C).

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Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una funzione continua in \mathbb{R}. È vero che per ogni K\subset \mathbb{R}, se K è compatto allora anche f^{-1}(K) è compatto?

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