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Esercizio urti 23

Urti in Meccanica classica

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L’Esercizio Urti 23 è il ventitreesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 22. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 24. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 23

Esercizio 23 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Una sferetta rigida, praticamente puntiforme e di massa m_1, cade lungo la verticale e urta elasticamente una semisfera rigida liscia, di massa m_2, nel punto A tale da formare l’angolo \alpha (si veda la figura 1). Il modulo della velocità posseduta dalla sferetta subito prima dell’urto è v_0. La semisfera, prima dell’urto, è in quiete su un piano orizzontale privo di attrito. Si calcoli la quantità di moto \vec{p} di m_1 immediatamente dopo l’urto con m_2.

 

 

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Premessa.

La chiave per la risoluzione del seguente problema è scegliere adeguatamente il sistema fisico affinché si conservi la quantità di moto del sistema considerato e sfruttare l’ipotesi che l’urto tra m_1 e m_2 è elastico.

Svolgimento

Scegliendo un sistema di riferimento inerziale Oxy e considerando il sistema fisico composto da m_1 ed m_2, si osserva che nella breve durata dell’urto si genera una forza esterne di natura impulsiva lungo la verticale (generata dal piano orizzontale), quindi si conserva la quantità di moto del sistema lungo l’asse orizzontale (asse delle x). Il sistema un’istante prima dell’urto nella direzione dell’asse delle x è in quiete, pertanto la quantità di moto in tale istante è

(1)   \begin{equation*} p_{i,x}=0. \end{equation*}

Un’istante dopo l’urto il sistema entra in movimento e la quantità di moto nella direzione dell’asse delle x è

(2)   \begin{equation*} p_{f,x}=m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}, \end{equation*}

dove v_{1,x} e v_{2,x} sono le velocità rispettivamente di m_1 e m_2 nella direzione dell’asse delle x, subito dopo l’urto. Per la conservazione della quantità di moto abbiamo

(3)   \begin{equation*} p_{i,x}=p_{f,x}, \end{equation*}

ovvero

(4)   \begin{equation*} m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}=0, \end{equation*}

cioè

(5)   \begin{equation*} v_{2,x}=-\dfrac{m_1 }{m_2}v_{1,x}. \end{equation*}

L’urto è elastico, quindi si conserva l’energia meccanica del sistema. L’energia cinetica del sistema prima dell’urto è

(6)   \begin{equation*} E_i=\dfrac{1}{2}m_1v_0^2. \end{equation*}

Chiaramente il contributo all’energia iniziale E_i è dato dalla sola massa m_1, poiché m_2 prima dell’urto è in quiete. L’energia cinetica del sistema dopo dell’urto è

(7)   \begin{equation*} E_f= \dfrac{1}{2}m_1\left(v_{1,x}^2+v^2_{1,y}\right)+\dfrac{1}{2}m_2v_{2,x}^2, \end{equation*}

dove v_{1,y} è il modulo della velocità nella direzione dell’asse delle y di m_1, un’istante dopo l’urto, e v_{2,x} è la velocità nella direzione dell’asse delle x per m_2, un’istante dopo l’urto. Si osservi che abbiamo supposto che la velocità della massa m_2 è nella direzione dell’asse delle x perché è vincolata a muoversi lungo il piano orizzontale. Per la conservazione dell’energia abbiamo

(8)   \begin{equation*} E_i=E_f, \end{equation*}

da cui, avvalendosi delle equazioni (6) e (7), si ha

(9)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}m_1\left(v_{1,x}^2+v^2_{1,y}\right)+\dfrac{1}{2}m_2v_{2,x}^2=\dfrac{1}{2}m_1v_0^2. \end{equation*}

Scegliamo ora il sistema fisico composto dal solo punto materiale m_1. Osserviamo che nell’urto tra m_1 e m_2 si genera una forza di natura impulsiva diretta radialmente (si ricordi che la guida è liscia), quindi lungo la tangente alla sfera si conserva la quantità di moto per m_1. Analizziamo la situazione prima dell’urto, come in figura 2 (nella figura 3 sono stati rappresentati i versori \hat{t} e \hat{n} che rappresentano rispettivamente la direzione tangente e normale alla guida).

 

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La quantità di moto nella direzione tangente prima dell’urto è

(10)   \begin{equation*} \vec{p}_{t,i}=m_1v_0\sin\alpha \; \hat{t}, \end{equation*}

dove \hat{t} rappresenta il versore nella direzione tangente alla guida. Dopo l’urto m_1 avrà una velocità nella direzione dell’asse delle x e delle y, come in figura 3.

 

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La quantità di moto nella direzione tangente dopo dell’urto è

(11)   \begin{equation*} \vec{p}_{t,f}=m_1\left(-v_{1,y}\sin\alpha+v_{1,x}\cos\alpha\right)\hat{t}. \end{equation*}

Per la conservazione della quantità di moto nella direzione tangente si ha

(12)   \begin{equation*} \vec{p}_{t,i}=\vec{p}_{t,f}, \end{equation*}

da cui

(13)   \begin{equation*} -v_{1,y}\sin\alpha+v_{1,x}\cos\alpha=v_0\sin\alpha . \end{equation*}

o anche

(14)   \begin{equation*} v_{1,y}=\dfrac{-v_0\sin \alpha+v_{1,x}\cos \alpha}{\sin \alpha}, \end{equation*}

cioè

(15)   \begin{equation*} v_{1,y}=\dfrac{v_{1,x}}{\tan \alpha}-v_0. \end{equation*}

Mettiamo a sistema le equazioni (5), (9) e (15), ottenendo

(16)   \begin{equation*} \begin{cases} v_{2,x}=-\dfrac{m_1v_{1,x}}{m_2}\\[10pt] \dfrac{1}{2}m_1\left(v_{1,x}^2+v^2_{1,y}\right)+\dfrac{1}{2}m_2v_{2,x}^2=\dfrac{1}{2}m_1v_0^2\\[10pt] v_{1,y}=\dfrac{v_{1,x}}{\tan \alpha}-v_0. \end{cases} \end{equation*}

Risolvendo il sistema si ottiene:

    \[\begin{aligned} &m_1\left(v_{1,x}^2+\left(\dfrac{v_{1,x}}{\tan\alpha}-v_0\right)^2\right)+m_2\left(-\dfrac{m_1v_{1,x}}{m_2}\quad \right)^2=m_1v_0^2\Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad v_{1,x}^2+\dfrac{v_{1,x}^2}{\tan^2\alpha}+v_0^2-\dfrac{2v_{1,x}v_0}{\tan\alpha}+\dfrac{m_2}{m_1}v_{1,x}^2=v_0^2\quad\Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad v_{1x}^2+\dfrac{v_{1x}^2}{\tan^2\alpha}-\dfrac{2v_{1x}v_0}{\tan\alpha}+\dfrac{m_2}{m_1}v_{1x}^2=0\quad\Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad v_{1,x}\left( \dfrac{m_2}{m_1}v_{1x}+v_{1x}+\dfrac{v_{1x}}{\tan^2\alpha}-\dfrac{2v_0}{\tan\alpha}\right)=0\quad \Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad v_{1,x}\left( \dfrac{m_2}{m_1}+1+\dfrac{1}{\tan^2\alpha}\right)=\dfrac{2v_0}{\tan\alpha}\quad \Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad v_{1,x}=\dfrac{\dfrac{2v_0}{\tan\alpha}}{\dfrac{m_2}{m_1}+1+\dfrac{1}{\tan^2\alpha}}\quad\Leftrightarrow \\[10pt] &\Leftrightarrow\quad v_{1,x}=\dfrac{2v_0\cos\alpha \sin\alpha}{\cos\alpha\sin\alpha\left(\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)}\quad\Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad v_{1,x}=\dfrac{2v_0\cos\alpha\sin\alpha}{\dfrac{m_2}{m_1} \; \sin^2\alpha+1}. \end{aligned}\]

La quantità di moto dopo l’urto di m_1 nella direzione dell’asse delle x e dell’asse delle y è rispettivamente

(17)   \begin{equation*} {p}_{1,x}=\dfrac{2v_0\cos\alpha\sin\alpha}{\dfrac{m_1}{m_2} \sin^2\alpha+1}, \end{equation*}

e

    \[\begin{aligned} {p}_{1y}&=m_1v_{1y}=\\[10pt] &=m_1\left(\dfrac{v_{1x}}{\tan\alpha}-v_0\right) =\\[10pt] &= m_1 \left(\left(\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)\dfrac{2v_0\cos\alpha\sin\alpha}{\dfrac{m_1}{m_2}\sin^2\alpha+1}-v_0\right) =\\[10pt] &=m_1\left(\dfrac{2v_0 \cos^2\alpha}{\dfrac{m_1}{m_2}\sin^2\alpha+1}-v_0\right). \end{aligned}\]

Si conclude che la quantità di moto dopo l’urto per m_1 è

    \[\boxcolorato{fisica}{\vec{p}={p}_{1,x}\,\hat{x}+{p}_{1,y}\,\hat{y},}\]

dove \hat{x} e \hat{y} sono i versori rispettivamente nella direzione dell’asse delle x e delle y.

 


Fonte Esercizio.

Fonte: Problemi di fisica generale – S.Rosati e L. Lovitch.

 

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