Dominio di una funzione

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In questo articolo presentiamo 5 esercizi sulla determinazione dell’insieme di definizione (o “dominio”) di una funzione definita da un’espressione. Gli esercizi sono completamente risolti, al fine di consentire una comprensione completa dell’argomento nei suoi dettagli. Segnaliamo anche la precedente raccolta Dominio di una funzione – Esercizi 2 e la successiva Dominio di una funzione – Esercizi 4 per ulteriore materiale sull’argomento.

Ricordiamo che, oltre all’esauriente lista presente alla fine dell’articolo, è possibile consultare il seguente materiale teorico di riferimento:

Buona lettura!

Esercizio 11 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{3x^2-2}{\vert x+1 \vert -5}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali eccetto quelli che annullano il denominatore. Dunque andiamo a trovare i numeri reali che annullano il denominatore

$\vert x+1 \vert -5 \quad \Leftrightarrow \quad \vert x+1 \vert = 5 \quad \Leftrightarrow \quad x = 4 \, \vee \, x = -6$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq 4 \, \vee \, x \neq -6\right\}.}$

Esercizio 12 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-5}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono entrambi i radicandi non negativi. Dunque abbiamo

$\begin{cases} x+1\ge0\\ x^2-5\ge0\\ \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ge -1\\ x \le - \sqrt{5} \, \vee \, x \ge \sqrt{5} \end{cases}$

che ha soluzione

$x \ge \sqrt{5}$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \ge \sqrt{5} \right\}. }$

Esercizio 13 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\sqrt[5]{\dfrac{x^2-1}{x^2-4x+3}}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

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