Esercizio urti 5

Nel punto , il corpo è fermo, pertanto, nell’analisi della sua energia meccanica, non sarà presente la componente cinetica (ricordiamo infatti che l’energia cinetica è proporzionale alla velocità in accordo con ), mentre si avrà che tutta l’energia di risiede nella componente potenziale elastica [2]., ossia . Quando il corpo ritorna a contatto con la massa (punto della figura 2), la molla torna a riposo e pertanto l’ energia potenziale elastica sarà nulla, mentre adesso sarà presente una energia cinetica diversa da zero . Poiché, come discusso prima, l’energia meccanica totale si conserva, sarà , e cioè

(1)  

Troveremo dunque, esplicitando rispetto a ,

(2)  

dove non è ancora possibile determinare il valore numerico di , dato che la costante non è nota. Nel punto del problema in esame, a questo punto, avviene l’urto con la massa , che, come già discusso inizialmente, è completamente anelastico. Possiamo dunque eguagliare la quantità di moto del sistema prima dell’urto con quella presente immediatamente dopo l’urto; scriveremo pertanto

(3)  

dove è la quantità di moto per la massa , è la quantità di moto per la massa , nulla poiché questa è inizialmente ferma, e è la quantità di moto del sistema subito dopo l’urto. Il sistema si sposta dunque verso destra con una velocità

(4)  

Riprendiamo a questo punto le considerazioni circa l’energia del sistema. Subito dopo l’urto, il sistema abbandona il punto avendo solamente la componente cinetica dell’energia, poiché, come già discusso precedentemente, nel punto la molla è a riposo, e pertanto non c’è alcuna componente di energia potenziale elastica. Il sistema raggiungerà poi la massima elongazione della molla nel punto della figura 2; in tale punto il sistema si ferma, e dunque , ma esisterà una componente potenziale elastica che denoteremo con , dove rappresenta la lunghezza relativa alla massima estensione della molla rispetto alla sua condizione di riposo. Poiché tra e l’energia meccanica totale del sistema si conserva, avremo

(5)  

e dunque

(6)  

Effettuate le opportune semplificazioni ed esplicitando per otterremo infine

che rappresenta la \textbf{soluzione del problema}.

Si osservi che dove è la distanza del sistema rispetto alla parete orizzontale e è la posizione a riposo della molla; pertanto se si volesse calcolare la distanza massima rispetto alla parete orizzontale si avrebbe .

1. Ricordiamo che un urto di tipo completamente anelastico è un urto anelastico, ossia un urto in cui si conserva solo la quantità di moto del sistema ma non l’energia cinetica, in cui, in particolare, i due corpi in gioco rimangono attaccati dopo l’urto. ↩

2. Ricordiamo che, in generale, l’energia meccanica totale è data dalla somma della componente cinetica e quella potenziale, che, in questo problema, è puramente elastica, sicché scriveremo . ↩

Esercizio 8.9 del libro elementi di fisica meccanica e termodinamica di P.Mazzoldi-M.Nigro e C.Voci.

• Cinematica del punto materiale.
• Dinamica del punto materiale: le leggi di Newton nella meccanica classica.
• Dinamica del punto materiale: lavoro ed energia.
• Moti relativi.
• Sistemi di punti materiali.
• Dinamica del corpo rigido.
• Urti .
• Gravitazione .
• Oscillazioni e onde.
• Meccanica dei fluidi.
• Onde meccaniche.
• Statica in meccanica classica.
• Fondamenti di relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze.
• Calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia.