Esercizio urti 4

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dove si è indicata con la quantità di moto del proiettile, con la quantità di moto del corpo, la quale è nulla poiché inizialmente quest’ultimo è in quiete, e con la quantità di moto del sistema proiettile-corpo che si crea una volta verificatosi l’urto; in questo contesto, come specificato già nel testo dell’esercizio, rappresenta la massa totale del sistema proiettile-corpo del pendolo. Possiamo dunque determinare sostituendo le quantità nell’equazione precedente, e risolvendo:

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Al fine di rispondere al primo punto, osserviamo che l’urto con il proiettile ha prodotto il sollevamento per un’altezza del sistema corpo-proiettile, che etichetteremo come posizione del sistema, rispetto alla sua posizione iniziale, che indicheremo come posizione , come illustrato in figura 2.

Figura 2: sollevamento del sistema corpo-proiettile dalla posizione alla posizione .

Nello spostamento tra la posizione alla posizione , in assenza di forze dissipative, l’energia meccanica totale del sistema si conserva; quest’ultima è data dalla somma dell’energia cinetica e quella potenziale gravitazionale , sicché

(3)  

Osserviamo che, scegliendo di porre l’altezza pari a zero nella posizione , l’ equazione precedente diventa

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dove si è usata la definizione dell’energia cinetica e si è osservato che nel punto di massima altezza la velocità è pari a zero, pertanto . E’ allora possibile determinare l’altezza dall’equazione precedente, che rappresenta la \textbf{soluzione al punto a) del problema}:

Per rispondere al punto b) del problema, ricordiamo che è possibile determinare la forza media conoscendo la variazione della quantità di moto in accordo con

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dove rappresenta la variazione della quantità di moto che avviene tra l’inizio dell’infiltrazione del proiettile e il punto in cui esso ha arrestato il suo moto. Possiamo allora determinare la soluzione al punto b) del problema:

dove il segno meno è rappresentativo del fatto che la forza agisce in verso opposto rispetto al moto del proiettile.

Figura 3: penetrazione del proiettile nel corpo del pendolo balistico, mostrando la velocità iniziale e la forza media opposta.

In figura 3 si rappresenta il proiettile che penetra nel corpo che costituisce il pendolo balistico; esso raggiunge la superficie del corpo alla velocità e prosegue il suo moto, soggetto ad una forza che si oppone alla direzione del moto stesso, per un tempo molto piccolo.

1. Ricordiamo che un urto di tipo completamente anelastico è un urto anelastico, ossia un urto in cui si conserva solo la quantità di moto del sistema ma non l’energia cinetica, in cui, in particolare, i due corpi in gioco rimangono attaccati dopo l’urto ↩

• Cinematica del punto materiale.
• Dinamica del punto materiale: le leggi di Newton nella meccanica classica.
• Dinamica del punto materiale: lavoro ed energia.
• Moti relativi.
• Sistemi di punti materiali.
• Dinamica del corpo rigido.
• Urti .
• Gravitazione .
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• Meccanica dei fluidi.
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• Statica in meccanica classica.
• Fondamenti di relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze.
• Calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia.