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Distanza tra due punti – Esercizi

Piano cartesiano e retta

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Autori e revisori

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Autore: Valerio Brunetti.

Revisore: Matteo Talluri.

 

Richiami di teoria

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Si considerino due punti nel piano cartesiano, A(x_{1},y_{1}) e B(x_{2},y_{2}). Per determinare la lunghezza del segmento che li congiunge, si costruisce un triangolo rettangolo avente AB come ipotenusa e cateti paralleli agli assi coordinati.

Costruzione geometrica

  1. Si tracci una retta verticale parallela all’asse y passante per B (equazione x = x_{2}).
  2. Si tracci una retta orizzontale parallela all’asse x passante per A (equazione y = y_{1}).
  3. L’intersezione di tali rette è il punto C(x_{2},y_{1}); i cateti del triangolo ABC misurano |x_{2}-x_{1}| orizzontalmente e |y_{2}-y_{1}| verticalmente.

Rappresentazione grafica

 

 

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Figura 1: triangolo rettangolo costruito a partire dai punti A e B, con visualizzazione dei cateti |x_{2}-x_{1}|, |y_{2}-y_{1}| e dell’ipotenusa AB.

Derivazione della formula

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC si ottiene

\[ AB^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}, \qquad \Rightarrow \qquad \boxed{\,AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}\,}. \]

La relazione è valida per qualunque coppia di coordinate reali.

Esempio numerico nel piano

Con A(2,3) e B(6,7) risulta

\[ AB = \sqrt{(6-2)^{2} + (7-3)^{2}} = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66. \]

Estensione tridimensionale (esempio)

Nel caso spaziale si considerino i punti P(x_{1},y_{1},z_{1}) e Q(x_{2},y_{2},z_{2}). Il segmento PQ è ipotenusa di un tetraedro ortogonale con cateti paralleli agli assi: applicando Pitagora in tre dimensioni si ottiene

\[ PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} + (z_{2}-z_{1})^{2}}. \]

Per esempio, con P(1,2,3) e Q(4,5,7):

\[ PQ = \sqrt{(4-1)^{2} + (5-2)^{2} + (7-3)^{2}} = \sqrt{3^{2} + 3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 9 + 16} = \sqrt{34} \approx 5{,}83. \]


 

Testi degli esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare la distanza tra le seguenti coppie di punti del piano cartesiano:

     

  1. A(4,1), B(2,6)

    2.  

  2. A(3,8), B\!\left(3,\dfrac{19}{2}\right)

    3.  

  3. A\!\left(-4,-\dfrac{4}{3}\right), B(-7,-2)

    4.  

  4. A(-4,-4), B\!\left(\dfrac12,-4\right)

    5.  

  5. A(2,0), B(8,0)

    6.  

  6. A(2,5),B(5,6)

    7.  

  7. A(-2,-1),B(4,2)

    8.  

  8. A\!\left(-\dfrac34,4\right), B\!\left(\dfrac{17}{4},2\right)

    9.  

  9. A\!\left(\dfrac32,2\right), B\!\left(9,\dfrac{31}{2}\right)

    10.  

  10. A\!\bigl(1+\sqrt3,\,2\sqrt3\bigr), B\!\bigl(1,\,\sqrt3\bigr)

    11.  

  11. A\!\bigl(2+\sqrt2,0\bigr), B\!\bigl(2,\sqrt7\bigr)

Svolgimento.

  1. Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(2-4)^2 + (6-1)^2} \\ &= \sqrt{(-2)^2 + 5^2} \\ &= \sqrt{4 + 25} \\ &= \sqrt{29}. \end{aligned} \]

  2. Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(3-3)^2 + \left(\dfrac{19}{2}-8\right)^2} \\ &= \sqrt{0 + \left(\dfrac32\right)^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{9}{4}} \\ &= \dfrac{3}{2}. \end{aligned} \]

  3. Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(-7+4)^2 + \left(-2+\dfrac43\right)^2} \\ &= \sqrt{(-3)^2 + \left(-\dfrac23\right)^2} \\ &= \sqrt{9 + \dfrac{4}{9}} \\ &= \sqrt{\dfrac{85}{9}} \\ &= \dfrac{\sqrt{85}}{3}. \end{aligned} \]

  4. Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{\left(\dfrac12+4\right)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{\left(\dfrac92\right)^2} \\ &= \dfrac{9}{2}. \end{aligned} \]

  5. Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(8-2)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{6^{2}} \\ &= 6. \end{aligned} \]

  6. Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(5-2)^2 + (6-5)^2} \\ &= \sqrt{3^{2} + 1^{2}} \\ &= \sqrt{9 + 1} \\ &= \sqrt{10}. \end{aligned} \]

  7. Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(4+2)^2 + (2+1)^2} \\ &= \sqrt{6^{2} + 3^{2}} \\ &= \sqrt{36 + 9} \\ &= \sqrt{45} \\ &= 3\sqrt{5}. \end{aligned} \]

  8. Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{\left(\dfrac{17}{4} + \dfrac34\right)^2 + (2-4)^2} \\ &= \sqrt{5^{2} + (-2)^{2}} \\ &= \sqrt{25 + 4} \\ &= \sqrt{29}. \end{aligned} \]

  9. Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{\left(9-\dfrac32\right)^2 + \left(\dfrac{31}{2}-2\right)^2} \\ &= \sqrt{\left(\dfrac{15}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{27}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{225}{4} + \dfrac{729}{4}} \\ &= \sqrt{\dfrac{954}{4}} \\ &= \dfrac{\sqrt{954}}{2} = \dfrac{3\sqrt{106}}{2}. \end{aligned} \]

  10. Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{\bigl(1-(1+\sqrt3)\bigr)^2 + \bigl(\sqrt3-2\sqrt3\bigr)^2} \\ &= \sqrt{(-\sqrt3)^{2} + (-\sqrt3)^{2}} \\ &= \sqrt{3 + 3} \\ &= \sqrt{6}. \end{aligned} \]

  11. Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{\bigl(2-(2+\sqrt2)\bigr)^2 + (\sqrt7-0)^2} \\ &= \sqrt{(-\sqrt2)^{2} + (\sqrt7)^{2}} \\ &= \sqrt{2 + 7} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3. \end{aligned} \]

 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il perimetro del triangolo i cui vertici sono
A(2,4), B(2,1) e C(6,3).

Svolgimento.

La distanza tra due punti è:

\[ d(P,Q)=\sqrt{(x_{Q}-x_{P})^{2} + (y_{Q}-y_{P})^{2}}, \]

da cui

  • lato AB:

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(2-2)^{2} + (1-4)^{2}} \\ &= \sqrt{0^{2} + (-3)^{2}} \\ &= \sqrt{9} = 3, \end{aligned} \]

  • lato BC:

    \[ \begin{aligned} BC &= \sqrt{(6-2)^{2} + (3-1)^{2}} \\ &= \sqrt{4^{2} + 2^{2}} \\ &= \sqrt{16 + 4} \\ &= \sqrt{20} = 2\sqrt{5}, \end{aligned} \]

  • lato CA:

    \[ \begin{aligned} CA &= \sqrt{(2-6)^{2} + (4-3)^{2}} \\ &= \sqrt{(-4)^{2} + 1^{2}} \\ &= \sqrt{16 + 1} \\ &= \sqrt{17}. \end{aligned} \]

Pertanto il perimetro del triangolo è

\[\boxcolorato{superiori}{P = AB + BC + CA = 3 + 2\sqrt{5} + \sqrt{17}.}\]

   

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Figura 2: triangolo ABC con AB=3, BC=2\sqrt5, CA=\sqrt{17} (perimetro 3+2\sqrt5+\sqrt{17}).

 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcola il perimetro del quadrilatero i cui vertici sono
A(-5,\,6), B(0,\,6), C(2,\,2) e D(-3,\,-3).

Svolgimento.

La distanza tra due punti è:

\[ d(P,Q)=\sqrt{(x_{Q}-x_{P})^{2} + (y_{Q}-y_{P})^{2}}, \]

  • lato AB:

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{\bigl(0-(-5)\bigr)^{2} + (6-6)^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{5^{2}+0^{2}} = \sqrt{25}=5, \end{aligned} \]

  • lato BC:

    \[ \begin{aligned} BC &= \sqrt{(2-0)^{2} + (2-6)^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{2^{2}+(-4)^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{4+16}= \sqrt{20}=2\sqrt{5}, \end{aligned} \]

  • lato CD:

    \[ \begin{aligned} CD &= \sqrt{\bigl(-3-2\bigr)^{2} + \bigl(-3-2\bigr)^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{(-5)^{2}+(-5)^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{25+25}= \sqrt{50}=5\sqrt{2}, \end{aligned} \]

  • lato DA:

    \[ \begin{aligned} DA &= \sqrt{\bigl(-5-(-3)\bigr)^{2} + (6-(-3))^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{(-2)^{2}+9^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{4+81}=\sqrt{85}. \end{aligned} \]

Perimetro del quadrilatero

\[\boxcolorato{superiori}{P &= AB + BC + CD + DA = 5 + 2\sqrt{5} + 5\sqrt{2} + \sqrt{85}.}\]

   

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Figura 3: quadrilatero ABCD con vertici A(-5,6), B(0,6), C(2,2) e D(-3,-3). Le lunghezze dei lati sono AB=5, BC=2\sqrt5, CD=5\sqrt2, DA=\sqrt{85}; la loro somma dà il perimetro.

 

Esercizio 4 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilisci se il triangolo ABC di vertici A(-5,\,6), B(-1,\,4) e C(4,\,-1) è isoscele.

Svolgimento.

Applicando la formula della distanza tra due punti

\[ AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}},\]

si ottengono le lunghezze (o, più comodamente, i quadrati delle lunghezze) dei lati:

  • lato AB:

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(-1-(-5))^{2}+(4-6)^{2}} \\ &= \sqrt{4^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \end{aligned} \]

  • lato BC:

    \[ \begin{aligned} BC &= \sqrt{(4-(-1))^{2}+(-1-4)^{2}} \\ &= \sqrt{5^{2}+(-5)^{2}} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt2, \end{aligned} \]

  • lato CA:

    \[ \begin{aligned} CA &= \sqrt{(4-(-5))^{2}+(-1-6)^{2}} \\ &= \sqrt{9^{2}+(-7)^{2}} = \sqrt{81+49} = \sqrt{130}. \end{aligned} \]

    •  

    Poiché le tre lunghezze ottenute (2\sqrt5, 5\sqrt2, \sqrt{130}) sono tutte diverse, il triangolo ABC non è isoscele, bensì scaleno.

       

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    Figura 4: il triangolo con vertici A(-5,6), B(-1,4) e C(4,-1) non è isoscele: le lunghezze dei lati sono 2\sqrt{5}, 5\sqrt{2} e \sqrt{130}, tutte diverse, perciò il triangolo è scaleno.

 

Esercizio 5 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dati i punti

\[ A(-3,0),\quad B(5,0),\quad C\bigl(1,4\sqrt3\bigr) \]

calcola la lunghezza dei lati del triangolo ABC applicando la formula della distanza, verifica se il triangolo è equilatero e determina il suo perimetro.

Svolgimento.

Applicando la formula della distanza tra due punti

\[ AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}},\]

si ha

  • lato AB

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{\bigl(5-(-3)\bigr)^{2}+(0-0)^{2}} =\sqrt{8^{2}} = 8, \end{aligned} \]

    •  

  • lato BC

    \[ \begin{aligned} BC &= \sqrt{(1-5)^{2}+\bigl(4\sqrt3-0\bigr)^{2}} =\sqrt{(-4)^{2}+(4\sqrt3)^{2}} =\sqrt{16+48}=8 , \end{aligned} \]

    •  

  • lato CA

    \[ \begin{aligned} CA &= \sqrt{\bigl(1-(-3)\bigr)^{2}+\bigl(4\sqrt3-0\bigr)^{2}} =\sqrt{4^{2}+(4\sqrt3)^{2}} =\sqrt{16+48}=8 . \end{aligned} \]

Poiché tutti i lati risultano congruenti (AB = BC = CA = 8), il triangolo è equilatero.

\[\boxcolorato{superiori}{P = AB + BC + CA = 8 + 8 + 8 = 24 .}\]

   

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Figura 5: triangolo ABC con AB = BC = CA = 8 (equilatero, perimetro 24).

 

Esercizio 6 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).Verificare che il quadrilatero di vertici A(2,1),\; B(8,2),\; C(11,7),\; D(5,6) è un parallelogramma.
(Suggerimento: è sufficiente controllare che le due coppie di lati opposti
siano congruenti.)

Svolgimento.

Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

\[ AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}},\]

  • lato AB:

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(8-2)^{2} + (2-1)^{2}} \\ &= \sqrt{6^{2} + 1^{2}} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}, \end{aligned} \]

  • lato BC:

    \[ \begin{aligned} BC &= \sqrt{(11-8)^{2} + (7-2)^{2}} \\ &= \sqrt{3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}, \end{aligned} \]

  • lato CD:

    \[ \begin{aligned} CD &= \sqrt{(5-11)^{2} + (6-7)^{2}} \\ &= \sqrt{(-6)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}, \end{aligned} \]

  • lato DA:

    \[ \begin{aligned} DA &= \sqrt{(2-5)^{2} + (1-6)^{2}} \\ &= \sqrt{(-3)^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}. \end{aligned} \]

Poiché

\[ AB = CD = \sqrt{37},\qquad BC = DA = \sqrt{34}, \]

le due coppie di lati opposti risultano congruenti.

Conclusione: il quadrilatero ABCD è un parallelogramma.

   

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Figura 6: quadrilatero ABCD con A(2,1), B(8,2), C(11,7) e D(5,6): le due coppie di lati opposti, AB\cong CD (blu) e BC\cong DA (rosso), confermano che ABCD è un parallelogramma.

 

Esercizio 7 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se il triangolo ABC di vertici A(1,-2), B(-1,2), C(-1,-3) è un triangolo rettangolo (è sufficiente verificare se le misure dei lati soddisfano il teorema di Pitagora).

Svolgimento.

Applicando la formula della distanza tra due punti si ottiene

\[ AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}},\]

  • lato AB:

    \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(-1-1)^{2} + \bigl(2-(-2)\bigr)^{2}}\\ &= \sqrt{(-2)^{2} + 4^{2}}\\ &= \sqrt{4+16}\\ &= \sqrt{20} = 2\sqrt{5}, \end{aligned} \]

  • lato BC:

    \[ \begin{aligned} BC &= \sqrt{\bigl(-1-(-1)\bigr)^{2} + (-3-2)^{2}}\\ &= \sqrt{0^{2} + (-5)^{2}}\\ &= \sqrt{25} = 5, \end{aligned} \]

  • lato CA:

    \[ \begin{aligned} CA &= \sqrt{\bigl(1-(-1)\bigr)^{2} + \bigl(-2-(-3)\bigr)^{2}}\\ &= \sqrt{2^{2} + 1^{2}}\\ &= \sqrt{4+1}\\ &= \sqrt{5}. \end{aligned} \]

Verifica del teorema di Pitagora:

\[ CA^{2} + AB^{2} = (\sqrt{5})^{2} + \bigl(2\sqrt{5}\bigr)^{2} = 5 + 20 = 25 = 5^{2} = BC^{2}. \]

Poiché la relazione è soddisfatta, il triangolo ABC è rettangolo e l’angolo retto si trova nel vertice A.

   

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Figura 7: il triangolo ABC con vertici A(1,\!-2), B(-1,\!2) e C(-1,\!-3) risulta rettangolo: infatti \overline{AB}^2 + \overline{CA}^2 = \overline{BC}^2 e l’angolo retto si trova nel vertice A.

 

Esercizio 8 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia P=(x,0) un punto sull’asse x.
Vogliamo determinarne la coordinata imponendo che la sua distanza da A(-5,5) e da B(0,2) sia la stessa.

Svolgimento.

Sia P=(x,0) un punto sull’asse x. Vogliamo determinarne la coordinata imponendo che la sua distanza da A(-5,5) e da B(0,2) sia la stessa. Applicando la formula della distanza fra due punti otteniamo

\[ PA = \sqrt{(x+5)^{2} + 25} \]

e

\[ PB = \sqrt{x^{2} + 4}. \]

Imponendo l’equidistanza PA = PB ed elevando al quadrato otteniamo

\[ (x+5)^{2} + 25 = x^{2} + 4. \]

\[ \begin{aligned} x^{2} + 10x + 50 &= x^{2} + 4 \\[2pt] 10x &= -46 \\[2pt] x &= -\frac{23}{5}. \end{aligned} \]

Il punto cercato è quindi

\[\boxcolorato{superiori}{P\!\left(-\dfrac{23}{5},\,0\right)\approx (-4{,}6,\,0).}\]

   

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Figura :8 il punto P sull’asse x equidistante dai punti A e B.

 

Esercizio 9 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Individua il punto P che ha ordinata uguale all’ascissa ed è equidistante dai punti A(-2,\,2) e B(5,\,4).

Svolgimento.

Poiché l’ordinata deve coincidere con l’ascissa, poniamo

\[ P(x,y)\quad\text{con}\quad y = x . \]

Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

\[ \begin{aligned} PA &= \sqrt{(x-(-2))^{2} + (x-2)^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{(x+2)^{2} + (x-2)^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{2x^{2}+8}\;. \end{aligned} \]

e

\[ \begin{aligned} PB &= \sqrt{(x-5)^{2} + (x-4)^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{2x^{2}-18x+41}\;. \end{aligned} \]

Imponendo l’equidistanza PA = PB si ottiene

\[ 2x^{2}+8 \;=\; 2x^{2}-18x+41 \;\;\Longrightarrow\;\; -18x = -33 \;\;\Longrightarrow\;\; x = \frac{11}{6}\;. \]

Poiché y=x, le coordinate del punto cercato sono

\[ \displaystyle P\!\left(\tfrac{11}{6},\,\tfrac{11}{6}\right) . \]

Verifica (facoltativa): sostituendo x=\tfrac{11}{6} nelle due espressioni si ottiene

\[ PA = PB = \sqrt{\tfrac{530}{36}}, \]

confermando l’equidistanza.

   

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Figura 9: il punto P\!\bigl(\tfrac{11}{6},\tfrac{11}{6}\bigr)\, è sulla retta y=x ed è equidistante dai punti A(-2,2) e B(5,4): i segmenti PA e PB hanno infatti la stessa lunghezza d.

 

Esercizio 10 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Trovare per quali valori di k il punto P(k+2,\;k+1) è equidistante dai punti A(-2,1) e B(4,-2).

Svolgimento.

Si impone l’uguaglianza delle distanze PA e PB. Per evitare le radici si eguagliano i quadrati delle distanze.

\[ \begin{aligned} PA^{2} &= (k+2 - (-2))^{2} + \bigl(k+1-1\bigr)^{2} = (k+4)^{2} + k^{2},\\[4pt] PB^{2} &= (k+2 - 4)^{2} + \bigl(k+1 - (-2)\bigr)^{2} = (k-2)^{2} + (k+3)^{2}. \end{aligned} \]

Posto PA^{2}=PB^{2}:

\[ (k+4)^{2} + k^{2} \;=\; (k-2)^{2} + (k+3)^{2}. \]

\[ \bigl(k^{2}+8k+16\bigr)+k^{2} \;=\; \bigl(k^{2}-4k+4\bigr)+\bigl(k^{2}+6k+9\bigr). \]

\[ 2k^{2}+8k+16 \;=\; 2k^{2}+2k+13. \]

\[ 6k+3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = -\dfrac12. \]

Pertanto il punto P(k+2,\;k+1) è equidistante dai punti A e B soltanto per il valore

\[\boxcolorato{superiori}{k=-\dfrac12.}\]

   

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Figura 10: il punto P(k+2,\,k+1) è equidistante da A e B solo per k=-\frac12, cioè per P=(1.5,0.5).

 

Esercizio 11 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali valori di a la distanza tra i punti
A(2a+3,\,2) e B(1,\,2a) è uguale a 4.

Svolgimento.

Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

\[ AB = 4 \;\Longrightarrow\; AB^{2}=16, \]

dove

\[ AB^{2} = \bigl(1-(2a+3)\bigr)^{2} + \bigl(2a-2\bigr)^{2}. \]

\[ \begin{aligned} (1-2a-3)^{2} + (2a-2)^{2} &= 16 \\[6pt] (-2a-2)^{2} + (2a-2)^{2} &= 16 \\[6pt] 4(a+1)^{2} + (2a-2)^{2} &= 16 \\[6pt] 4\bigl(a^{2}+2a+1\bigr) + 4a^{2}-8a+4 &= 16 \\[6pt] \underbrace{(4a^{2}+8a+4) + (4a^{2}-8a+4)}_{8a^{2}+8} &= 16 \\[6pt] 8a^{2}+8 &= 16 \\[6pt] 8a^{2} &= 8 \\[6pt] a^{2} &= 1 \\[6pt] a &= \pm 1. \end{aligned} \]

Pertanto la distanza AB è pari a 4 se e solo se

\[\boxcolorato{superiori}{a = 1 \quad\text{oppure}\quad a = -1\.}\]

   

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Figura 11: rappresentazione dei segmenti AB di lunghezza 4 nei due casi a = 1 (blu, orizzontale) e a = -1 (rosso, verticale).

 

Esercizio 12 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcola per quali valori di k il segmento che congiunge i punti

\[ P\bigl(2;\,1+k\bigr),\qquad Q\!\left(\tfrac{k}{2};\,0\right) \]

misura 5.

Svolgimento.

Applicando la formula della distanza tra due punti si ha

\[ PQ=\sqrt{\Bigl(\tfrac{k}{2}-2\Bigr)^{2}+\bigl(0-(1+k)\bigr)^{2}}=5. \]

\[ \begin{aligned} \Bigl(\tfrac{k}{2}-2\Bigr)^{2}+\bigl(-1-k\bigr)^{2}&=25\\[4pt] \frac{(k-4)^{2}}{4}+(k+1)^{2}&=25\\[6pt] (k-4)^{2}+4(k+1)^{2}&=100\\[4pt] \bigl(k^{2}-8k+16\bigr)+4\bigl(k^{2}+2k+1\bigr)&=100\\[4pt] 5k^{2}+20 &= 100\\[4pt] 5k^{2} &= 80\\[4pt] k^{2} &= 16\\[4pt] k &= \pm 4. \end{aligned} \]

Verifica

  • Per k=4: P(2,5), Q(2,0), PQ=\sqrt{(2-2)^{2}+(0-5)^{2}}=5.
  • Per k=-4: P(2,-3), Q(-2,0), PQ=\sqrt{(-2-2)^{2}+(0+3)^{2}}=5.

\[\boxcolorato{superiori}{k=4\quad\text{oppure}\quad k=-4.}\]

   

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Figura 12: rappresentazione dei segmenti PQ di lunghezza 5 nei due casi k=4 (blu) e k=-4 (rosso).

 

Esercizio 13 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il circocentro del triangolo
ABC con vertici A(7,1),\; B(2,7),\; C(-2,-2).

Svolgimento.

Il circocentro è il punto d’incontro degli assi dei lati (le perpendicolari ai lati nei rispettivi punti medi).

  1. Asse del lato AB Punto medio:

    \[ M_{AB}\!\Bigl(\tfrac{7+2}{2},\,\tfrac{1+7}{2}\Bigr)=\bigl(4.5,\,4\bigr). \]

    Pendenza di AB: m_{AB}=\dfrac{7-1}{2-7}=-\dfrac{6}{5};

    dunque l’asse, perpendicolare, ha pendenza m_1=\dfrac{5}{6}. Equazione:

    \[ y-4=\frac{5}{6}\,\bigl(x-4.5\bigr). \]

  2. Asse del lato AC Punto medio:

    \[ M_{AC}\!\Bigl(\tfrac{7-2}{2},\,\tfrac{1-2}{2}\Bigr) =\bigl(2.5,\,-0.5\bigr). \]

    Pendenza di AC: m_{AC}= \dfrac{-2-1}{-2-7}= \dfrac{1}{3};

    l’asse, perpendicolare, ha pendenza m_2=-3. Equazione:

    \[ y+0.5=-3\bigl(x-2.5\bigr). \]

  3. Intersezione degli assi Risolvendo

    \[ \begin{cases} y-4=\dfrac{5}{6}\,(x-4.5)\\[4pt] y+0.5=-3\,(x-2.5) \end{cases} \]

    si ottiene il circocentro

    \[\boxcolorato{superiori}{O\Bigl(\dfrac{81}{46},\;\dfrac{79}{46}\Bigr)\,.}\]

    4.    

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    Figura 13: triangolo ABC, assi di due lati (tratteggiati), circocentro O e circocerchio.

 

Esercizio 14 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Trova a e b in modo che il punto P(a,b) sia equidistante
dai punti A(-4,0), B(0,3) e C(1,0).

Svolgimento.

Prima uguaglianza PA^{2}=PB^{2}. Applicando la formula della distanza otteniamo

\begin{equation*} (a+4)^{2}+b^{2}=a^{2}+(b-3)^{2}, \end{equation*}

da cui segue immediatamente

(1') \begin{equation*} 8a+6b+7=0. \end{equation*}

Seconda uguaglianza {PA^{2}=PC^{2}}. Analogamente si ricava

\begin{equation*} (a+4)^{2}+b^{2}=(a-1)^{2}+b^{2}, \end{equation*}

e quindi

(2') \begin{equation*} 10a+15=0 \;\;\Longrightarrow\;\; a=-\dfrac{3}{2}. \end{equation*}

Si ha infatti

\begin{equation*} 8\!\left(-\dfrac{3}{2}\right)+6b+7=0 \;\;\Longrightarrow\;\; 6b=5 \;\;\Longrightarrow\;\; b=\dfrac{5}{6}. \end{equation*}

Punto equidistante. Dai precedenti risultati abbiamo

\[ P\!\left(-\dfrac{3}{2},\,\dfrac{5}{6}\right). \]

Verifica finale. Calcolando le distanze al quadrato si verifica che

\[ PA^{2}=PB^{2}=PC^{2}=\frac{250}{36}, \]

pertanto il risultato è corretto.

   

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% ———————————————————– % Caption (still inside centre environment) % ———————————————————–

 

Figura 14: illustrazione dell’esercizio: il punto P(-\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{6}) è equidistante dai tre punti dati A, B e C.

 

Esercizio 15 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Verificare che il quadrilatero ABCD di vertici
A(3,0), B(0,-1), C(1,2), D(4,3) è un rombo.
(Suggerimento: mostrare che i quattro lati sono congruenti e che le
diagonali non lo sono.)

Svolgimento.

1) Lunghezze dei lati. Per due punti P(x_{1},y_{1}) e Q(x_{2},y_{2}) vale PQ^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}.

\[ \begin{aligned} AB^{2} &= (0-3)^{2}+(-1-0)^{2}=10, &\quad BC^{2}&=(1-0)^{2}+(2+1)^{2}=10,\\ CD^{2} &= (4-1)^{2}+(3-2)^{2}=10, &\quad DA^{2}&=(3-4)^{2}+(0-3)^{2}=10. \end{aligned} \]

I quattro lati sono tutti congruenti \bigl(AB=BC=CD=DA=\sqrt{10}\bigr).

2) Lunghezze delle diagonali.

\[ AC^{2} = (1-3)^{2}+(2-0)^{2}=8,\qquad BD^{2} = (4-0)^{2}+(3+1)^{2}=32. \]

Le diagonali sono diverse \bigl(AC=2\sqrt2,\; BD=4\sqrt2\bigr).

3) Conclusione. Un quadrilatero con tutti i lati congruenti è un rombo; la disuguaglianza delle diagonali esclude che sia un quadrato.

   

 

Figura 15: rappresentazione del quadrilatero ABCD con diagonali tratteggiate.

 

Riferimenti bibliografici

Leggi...

[1] Bergamini, M., Trifone, A. & Barozzi, G., Matematica. Corso base blu 2.0! Zanichelli, Bologna (2011).