Problemi risolvibili con sistemi – Esercizio 5

Sistemi lineari: problemi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Due numeri interi positivi sono tali che dividendo il numero maggiore per il numero minore si ottiene come quoziente 2 e come resto 1. Dividendo la somma dei due numeri per 3 si ottiene come quoziente 7 e come resto 1. Quali sono i due numeri?

 

Soluzione. 

Innanzitutto definiamo le incognite:

    \[\begin{aligned}  &x = \text{numero maggiore}\\ &y = \text{secondo minore} \end{aligned}\]

Ora impostiamo il sistema ricavando le due equazioni necessarie dal testo. Ricordiamo che per risolvere un sistema dobbiamo ricavare un numero di equazioni pari al numero di incognite.
Sappiamo che dividendo il numero maggiore per il numero minore (quindi sicuramente y \neq 0) si ottiene come quoziente 2 e come resto 1, dunque

    \[x = 2y + 1\]

ed inoltre è noto che dividendo la somma dei due numeri per 3 si ottiene come quoziente 7 e come resto 1, quindi

    \[x+y = 7\cdot3  + 1\]

Abbiamo trovato quanto necessario per impostare il sistema

    \[\begin{cases} x = 2y + 1 \\ x+y = 7\cdot3  + 1  \end{cases}\]

e lo risolviamo con uno dei metodi visti: sostituzione, riduzione, confronto o Cramer. Andiamo ad utilizzare il metodo di sostituzione

    \[\begin{aligned}  &\begin{cases} x = 2y + 1 \\ x+y = 3 \cdot 7 + 1  \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad  \begin{cases} x = 2y + 1 \\ x+y = 22 \end{cases} \overset{\text{met. di sostituzione}}{\quad \Longleftrightarrow \quad} \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x = 2y + 1 \\ 2y + 1 +y = 22  \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad  \begin{cases} x = 2y + 1 \\ 3y = 21 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x = 2y + 1 \\ y=7 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x = 2 \cdot 7 + 1 \\ y=7 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x= 15 \\ y=7 \end{cases} \end{aligned}\]

Quindi i due numeri cercati sono 15 e 7.

 


Fonte: La Matematica a colori 2 (edizione blu) – L. Sasso