Problemi risolvibili con sistemi – Esercizio 4

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Due numeri sono tali che la somma del primo con il doppio del secondo è uguale a 13. Inoltre, aumentando il primo numero del 10 $\%$ e il secondo del 20 $\%$ si ottengono due numeri la cui somma risulta uguale a 10.3. Determina i due numeri.

Soluzione.
Innanzitutto definiamo le incognite:

$\begin{aligned} &x = \text{primo numero}\\ &y = \text{secondo numero} \end{aligned}$

Ora impostiamo il sistema ricavando le due equazioni necessarie dal testo. Ricordiamo che per risolvere un sistema dobbiamo ricavare un numero di equazioni pari al numero di incognite.
Sappiamo che la somma del primo con il doppio del secondo è uguale a 13, dunque

$x + 2y = 13$

ed inoltre è noto che aumentando il primo numero del 10 $\%$ e il secondo del 20 $\%$ si ottengono due numeri la cui somma risulta uguale a 10.3, quindi

$x + \underbrace{\dfrac{10}{100}x}_{10\% \text{ del primo numero}} + y + \underbrace{\dfrac{20}{200}y}_{{20\% \text{ del secondo numero}}} = \dfrac{103}{10}$

Abbiamo trovato quanto necessario per impostare il sistema

$\begin{cases} x + 2y = 13\\\\ x + \dfrac{10}{100}x + y + \dfrac{20}{100}y = \dfrac{103}{10} \end{cases}$

e lo risolviamo con uno dei metodi visti: sostituzione, riduzione, confronto o Cramer. Andiamo ad utilizzare il metodo di sostituzione

$\begin{aligned} &\begin{cases} x + 2y = 13\\\\ x + \dfrac{10}{100}x + y + \dfrac{20}{100}y = \dfrac{103}{10} \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x + 2y = 13\\\\ x + \dfrac{1}{10}x + y + \dfrac{1}{5}y = \dfrac{103}{10} \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x + 2y = 13\\\\ \dfrac{10x+x+10y+2y}{10} = \dfrac{103}{10} \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x + 2y = 13\\ 11x + 12 y = 103 \end{cases} \overset{\text{applico met. di sostituzione}}{\quad \Leftrightarrow \quad}\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x= 13 - 2y \\ 11 (13-2y) + 12y = 103 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x= 13 - 2y \\ 143 -22y + 12y = 103 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x= 13 - 2y \\ 10 y = 40 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x= 5 \\ y = 4 \end{cases} \end{aligned}$

Quindi i due numeri cercati sono 5 e 4

Fonte: La Matematica a colori 2 (edizione blu) – L. Sasso