Problemi risolvibili con sistemi – Esercizio 3

Sistemi lineari: problemi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Una frazione, ridotta ai minimi termini, è tale che la somma del numeratore con il doppio del denominatore dà come risultato 14. Inoltre, sommando 2 al numeratore e sottraendo 1 dal denominatore si ottiene una frazione equivalente a 3/2. Qual è la frazione?

 

Soluzione. 
Innanzitutto definiamo le incognite:

    \[\begin{aligned} &x = \text{numeratore}\\ &y = \text{denominatore} \end{aligned}\]

Ora impostiamo il sistema ricavando le due equazioni necessarie dal testo. Ricordiamo che per risolvere un sistema dobbiamo ricavare un numero di equazioni pari al numero di incognite.
Sappiamo che la somma del numeratore con il doppio del denominatore dà come risultato 14, dunque

    \[x + 2y = 14\]

ed inoltre è noto che sommando 2 al numeratore e sottraendo 1 dal denominatore si ottiene una frazione equivalente a 3/2, quindi

    \[\dfrac{x+2}{y-1} = \dfrac{3}{2}\]

con y\neq1.
Abbiamo trovato quanto necessario per impostare il sistema

    \[\begin{cases} x + 2y = 14\\\\ \dfrac{x+2}{y-1} = \dfrac{3}{2} \end{cases}\]

e lo risolviamo con uno dei metodi visti: sostituzione, riduzione, confronto o Cramer. Andiamo ad utilizzare il metodo di sostituzione

    \[\begin{aligned} &\begin{cases} x = 14 - 2y\\\\ 2(x+2) = 3(y-1) \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x = 14 - 2y\\ 2 (14 -2y+2) = 3 (y-1) \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x = 14 - 2y\\ 32 - 4y = 3y-3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x = 14 - 2y\\ 7y = 35 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x= 4 \\\ y=5 \end{cases} \end{aligned}\]

Quindi la frazione cercata è \dfrac{x}{y} = \dfrac{4}{5}

 


Fonte: La Matematica a colori 2 (edizione blu) – L. Sasso