Problemi risolvibili con sistemi – Esercizio 2

Sistemi lineari: problemi

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Due numeri sono tali che la differenza tra il doppio del minore e il maggiore è 5; determina i due numeri sapendo che la loro media aritmetica è 8.

 

Soluzione. 
Innanzitutto definiamo le incognite:

    \[\begin{aligned} &x = \text{numero maggiore}\\ &y = \text{numero minore} \end{aligned}\]

Ora impostiamo il sistema ricavando le due equazioni necessarie dal testo. Ricordiamo che per risolvere un sistema dobbiamo ricavare un numero di equazioni pari al numero di incognite.
Sappiamo che la differenza tra il doppio del minore e il maggiore è 5, dunque

    \[2y-x=5\]

ed inoltre è noto che la loro media aritmetica è 8, quindi

    \[\dfrac{x+y}{2} = 8\]

Abbiamo trovato quanto necessario per impostare il sistema

    \[\begin{cases} 2y-x=5\\\\ \dfrac{x+y}{2} = 8 \end{cases}\]

e lo risolviamo con uno dei metodi visti: sostituzione, riduzione, confronto o Cramer. Andiamo ad utilizzare il metodo di confronto

    \[\begin{aligned} &\begin{cases} 2y-x=5\\\\ \dfrac{x+y}{2} = 8 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=2y-5\\ x=16-y \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=2y-5\\ 2y-5=16-y \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=2y-5\\ 3y=21 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=2 \cdot 7 -5 \\ y=7 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=9 \\\ y=7 \end{cases} \end{aligned}\]

Quindi il numero maggiore è 9 e il numero minore è 7.

 


Fonte: La Matematica a colori 2 (edizione blu) – L. Sasso