Problemi risolvibili con sistemi – Esercizio 1

Sistemi lineari: problemi

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Una scatola contiene forchette a 2 e 3 punte. Sapendo che le forchette sono in totale 22 e che le punte in totale sono 54, calcolare quante sono le forchette a 2 punte e e quante quelle a 3 punte.

 

Soluzione. 
Innanzitutto definiamo le incognite:

    \[\begin{aligned} &x = \text{forchette a 2 punte}\\ &y = \text{forchette a 3 punte} \end{aligned}\]

Ora impostiamo il sistema ricavando le due equazioni necessarie dal testo. Ricordiamo che per risolvere un sistema dobbiamo ricavare un numero di equazioni pari al numero di incognite.
Sappiamo che le forchette in totale sono 22, dunque

    \[x + y = 22\]

ed inoltre è noto che le punte sono 54, quindi

    \[2x + 3y = 54\]

dove 2x indica il numero totale di punte delle forchette a 2 punte, mentre 3y indica il numero totale di punte delle forchette a 3 punte.
Abbiamo trovato quanto necessario per impostare il sistema

    \[\begin{cases} x+y=22\\ 2x + 3y = 54 \end{cases}\]

e lo risolviamo con uno dei metodi visti: sostituzione, riduzione, confronto o Cramer. Andiamo ad utilizzare il metodo di sostituzione

    \[\begin{aligned} &\begin{cases} x+y=22\\ 2x + 3y = 54 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=22-y\\ 2 (22-y) + 3y = 54 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=22-y\\ 44-2y + 3y = 54 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=22-y\\ y = 10 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=12\\ y=10 \end{cases} \end{aligned}\]

Quindi ci sono 12 forchette a 2 punte e 10 forchette a 3 punte.

 


Fonte: Matematica Verde 2 – Zanichelli