Problemi risolvibili con sistemi – Esercizio 6

Sistemi lineari: problemi

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Esercizio. (\bigstar\bigstar\largewhitestar)

Dodici anni fa l’età di Marco era 1/3 dell’età che aveva Anna. Fra tre anni, l’età di Anna sarà il doppio di quella che avrà Marco. Che età hanno Marco e Anna?

 

Soluzione. 

Innanzitutto definiamo le incognite:

    \[\begin{aligned} &x = \text{età di Marco}\\ &y = \text{età di Anna} \end{aligned}\]

Ora impostiamo il sistema ricavando le due equazioni necessarie dal testo. Ricordiamo che per risolvere un sistema dobbiamo ricavare un numero di equazioni pari al numero di incognite.
Sappiamo che dodici anni fa l’età di Marco era 1/3 dell’età che aveva Anna, dunque

    \[x-12 = \dfrac{y-12}{3}\]

ed inoltre è noto che fra tre anni, l’età di Anna sarà il doppio di quella che avrà Marco, quindi

    \[2(x+3) = y+3\]

Abbiamo trovato quanto necessario per impostare il sistema

    \[\begin{cases} x-12 = \dfrac{y-12}{3}\\\\ 2(x+3) = y+3 \end{cases}\]

e lo risolviamo con uno dei metodi visti: sostituzione, riduzione, confronto o Cramer. Andiamo ad utilizzare il metodo di sostituzione

    \[\begin{aligned} &\begin{cases} x-12 = \dfrac{y-12}{3}\\\\ 2(x+3) = y+3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 3x-y -24 = 0\\ y = 2x + 3 \end{cases} \overset{\text{met. di sostituzione}}{\quad \Longleftrightarrow \quad} \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 3x-(2x+3) -24= 0\\ y = 2x + 3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=27 y = 2x + 3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x = 27 \\ y = 2\cdot 27 + 3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x = 27\\ y=57 \end{cases} \end{aligned}\]

Quindi l’età di Marco è 27 anni e l’età di Anna è 57 anni.

 


Fonte: La Matematica a colori 2 (edizione blu) – L. Sasso