Sistema di equazioni simmetrico – Esercizio 3

Sistemi di equazioni Simmetrici

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere il seguente sistema simmetrico sia con il metodo algebrico che con il metodo grafico

    \[\begin{cases} x^2+y^2=10\\ 	x+y=3\sqrt{2} \end{cases}\]

 

Soluzione [Metodo algebrico]
Utilizzando lo sviluppo del quadrato del binomio

    \[x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.\]

e andando a sostituire la seconda equazione nella prima otteniamo

    \[\begin{aligned}  	& \begin{cases} 	x^2+y^2=10\\ 	x+y=3\sqrt{2} 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad  	\begin{cases} 	(x+y)^2-2xy=10\\ 	x+y=3\sqrt{2} 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad  	\begin{cases} 	(3\sqrt{2})^2-2xy=10\\ 	x+y=3\sqrt{2} 	\end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ 	& \quad \Rightarrow \quad  	\begin{cases} 	18-2xy=10\\ 	x+y=3\sqrt{2} 	\end{cases}\quad \Rightarrow \quad  	\begin{cases} 	xy=4\\ x+y=3\sqrt{2} 	\end{cases} \end{aligned}\]

Risolviamo il sistema tenendo a mente che la somma è data da 3\sqrt{2} e il prodotto è dato da 4. Allora risolvendo

    \[t^2-3\sqrt{2}t+4=0 \quad \Leftrightarrow t = \sqrt{2} \; \vee \; t = 2\sqrt{2}\]

troviamo le soluzioni del sistema

    \[A = \left(\sqrt{2}, 2\sqrt{2}\right) \mbox{ e } \, B = \left(2\sqrt{2}, \sqrt{2}\right)\]

Soluzione [Metodo grafico]


La prima equazione del sistema

    \[x^2+y^2=10\]

rappresenta una circonferenza con centro nell’origine (0,0) in quanto mancano i termini in x e y e con raggio pari ad R=\sqrt{10}.
La seconda equazione del sistema

    \[x+y=3\sqrt{2}\]

rappresenta una retta.

 


Fonte: Matematica.blu 2.0 Volume 2 – Zanichelli