Sistema di equazioni simmetrico – Esercizio 2

Sistemi di equazioni Simmetrici

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere il seguente sistema simmetrico sia con il metodo algebrico che con il metodo grafico

    \[\begin{cases} 4x^2+4y^2=37\\ 2(x+y)=5 \end{cases}\]

 

Soluzione [Metodo algebrico]
Possiamo procedere come segue

    \[\begin{cases} x^2+y^2=\dfrac{37}{4}\\\\ x+y=\dfrac{5}{2} \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (x+y)^2-2xy=\dfrac{37}{4}\\\\ x+y=\dfrac{5}{2} \end{cases}\]

dove abbiamo utilizzato lo sviluppo del quadrato del binomio

    \[x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.\]

Andando a sostituire la seconda equazione nella prima otteniamo

    \[\begin{aligned} & \begin{cases} \left(\dfrac{5}{2}\right)^2-2xy=\dfrac{37}{4}\\\\ x+y=\dfrac{5}{2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{25}{4}-2xy=\dfrac{37}{4}\\\\ x+y=\dfrac{5}{2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} -2xy=\dfrac{37}{4}-\dfrac{25}{4}\\\\ x+y=\dfrac{5}{2} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} -2xy=3\\\\ x+y=\dfrac{5}{2} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} xy=-\dfrac{3}{2}\\\\ x+y=\dfrac{5}{2} \end{cases} \end{aligned}\]

Risolviamo il sistema tenendo a mente che la somma è data da \frac{5}{2} e il prodotto è dato da -\frac{3}{2}. Allora risolvendo

    \[t^2-\frac{5}{2}t-\frac{3}{2}=0 \quad \Leftrightarrow t = -\dfrac{1}{2} \; \vee \; t = 3\]

troviamo le soluzioni del sistema

    \[A = \left( 3, -\dfrac{1}{2}\right) \mbox{ e } \, B = \left(-\dfrac{1}{2}, 3\right)\]

Soluzione [Metodo grafico]


La prima equazione del sistema

    \[x^2+y^2=\dfrac{37}{4}\]

rappresenta una circonferenza con centro nell’origine (0,0) in quanto mancano i termini in x e y e con raggio pari ad R=\sqrt{37}/2.
La seconda equazione del sistema

    \[x+y=-\dfrac{5}{2}\]

rappresenta una retta.

 


Fonte: Matematica.blu 2.0 Volume 2 – Zanichelli