Sistema di equazioni simmetrico – Esercizio 1

Sistemi di equazioni Simmetrici

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere il seguente sistema simmetrico sia con il metodo algebrico che con il metodo grafico

    \[\begin{cases} x^2+y^2=35\\ xy=-5\]

 

Soluzione [Metodo algebrico]
Possiamo procedere come segue

    \[\begin{cases} x^2+y^2=35\\ xy=-5 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (x+y)^2-2xy=35\\ xy=-5 \end{cases}\]

dove abbiamo utilizzato lo sviluppo del quadrato del binomio

    \[x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.\]

Andando a sostituire la seconda equazione nella prima otteniamo

    \[\begin{cases} (x+y)^2+10=35\\ xy=-5 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (x+y)^2=25\\ xy=-5 \end{cases}\]

da cui

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x+y = 5\\ xy=-5 \end{cases} \end{equation*}

e

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} x+y = -5\\ xy=-5 \end{cases} \end{equation*}

Risolviamo il sistema tenendo a mente che la somma è data da 5 e il prodotto è dato da -5. Allora risolvendo

    \[t^2-5t-5=0 \quad \Leftrightarrow t_{1,2} = \dfrac{5\pm\sqrt{3}}{2}\]

troviamo le soluzioni del sistema

    \[A = \left(\dfrac{5-3\sqrt{5}}{2},\dfrac{5+3\sqrt{5}}{2} \right) \mbox{ e } \, B = \left( \dfrac{5+3\sqrt{5}}{2},\dfrac{5-3\sqrt{5}}{2}\right)\]

Risolvendo analogamente troviamo le soluzioni

    \[C = \left(\dfrac{-5-3\sqrt{5}}{2},\dfrac{-5+3\sqrt{5}}{2} \right) \mbox{ e } \, D = \left( \dfrac{-5+3\sqrt{5}}{2},\dfrac{-5-3\sqrt{5}}{2}\right)\]

Soluzione [Metodo grafico]

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La prima equazione del sistema

    \[x^2+y^2=35\]

rappresenta una circonferenza con centro nell’origine (0,0) in quanto mancano i termini in x e y e con raggio pari ad R=\sqrt{35}.
La seconda equazione del sistema

    \[xy=-5\]

rappresenta un’iperbole equilatera con vertici in

    \[V_1 = \left(\sqrt{5},-\sqrt{5}\right) \quad \mbox{ e } \quad V_2 = \left(-\sqrt{5},\sqrt{5}\right).\]

 


Fonte: Qui Si Risolve