Esercizio. 
Risolvere il seguente sistema simmetrico sia con il metodo algebrico che con il metodo grafico
Risolvere il seguente sistema simmetrico sia con il metodo algebrico che con il metodo grafico
![\[\begin{cases} x^2+y^2=35\\ xy=-5\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0de7ce9907a73b29d956217786160a15_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soluzione [Metodo algebrico]
Possiamo procedere come segue
![\[\begin{cases} x^2+y^2=35\\ xy=-5 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (x+y)^2-2xy=35\\ xy=-5 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-124bcac396277ecc694a286838084741_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove abbiamo utilizzato lo sviluppo del quadrato del binomio
![\[x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c8ffec3bf19bf23a85d8fb573ddd5a3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Andando a sostituire la seconda equazione nella prima otteniamo
![\[\begin{cases} (x+y)^2+10=35\\ xy=-5 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (x+y)^2=25\\ xy=-5 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2372b58613aa6508a313cda5d2e92e41_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(1) 
(2) 
Risolviamo il sistema tenendo a mente che la somma è data da 
e il prodotto è dato da 
. Allora risolvendo
![\[t^2-5t-5=0 \quad \Leftrightarrow t_{1,2} = \dfrac{5\pm\sqrt{3}}{2}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b49f9463884a761d21a8fa10dca6af7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
troviamo le soluzioni del sistema
![\[A = \left(\dfrac{5-3\sqrt{5}}{2},\dfrac{5+3\sqrt{5}}{2} \right) \mbox{ e } \, B = \left( \dfrac{5+3\sqrt{5}}{2},\dfrac{5-3\sqrt{5}}{2}\right)\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c546f0073b51dd45ead31b83201051e5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Risolvendo analogamente troviamo le soluzioni
![\[C = \left(\dfrac{-5-3\sqrt{5}}{2},\dfrac{-5+3\sqrt{5}}{2} \right) \mbox{ e } \, D = \left( \dfrac{-5+3\sqrt{5}}{2},\dfrac{-5-3\sqrt{5}}{2}\right)\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ab6bd394eac71cb5f429dbf57db6298_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soluzione [Metodo grafico]
La prima equazione del sistema
![\[x^2+y^2=35\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69be5240be1dc5917a5ea534ebe51419_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
rappresenta una circonferenza con centro nell’origine 
in quanto mancano i termini in 
e 
e con raggio pari ad 
.
La seconda equazione del sistema
![\[xy=-5\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b7aec8a36e662ed773fa14bb87c0f28c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
rappresenta un’iperbole equilatera con vertici in
![\[V_1 = \left(\sqrt{5},-\sqrt{5}\right) \quad \mbox{ e } \quad V_2 = \left(-\sqrt{5},\sqrt{5}\right).\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-baa3d8c0af8418557365698b44fe17d0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Qui Si Risolve