Sistema di equazioni simmetrico – Esercizio 4

Sistemi di equazioni Simmetrici

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere il seguente sistema simmetrico sia con il metodo algebrico che con il metodo grafico

    \[\begin{cases} x^3+y^3=20\\ x+y=2 \end{cases}\]

 

Soluzione [Metodo algebrico]
Utilizzando lo sviluppo del cubo del binomio

    \[(x+y)^3 = x^3+y^3+3x^2y+3xy^2 \quad \Rightarrow \quad x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\]

e andando a sostituire la seconda equazione nella prima otteniamo

    \[\begin{aligned} & \begin{cases} x^3+y^3=20\\ x+y=2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} (x+y)^3-3xy(x+y) = 20\\ x+y=2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 2^3-3xy \cdot 2 = 20\\ x+y=2 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 8-6xy=20\\ x+y=2 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} xy=-2\\ x+y=2 \end{cases} \end{aligned}\]

Risolviamo (??) tenendo a mente che la somma è data da 2 e il prodotto è dato da -2. Allora risolvendo

    \[t^2-2t-2=0 \quad \Leftrightarrow t = 1\pm\sqrt{3}\]

troviamo le soluzioni del sistema

    \[A = \left(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}\right) \mbox{ e } \, B = \left(1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}\right)\]

Soluzione [Metodo grafico]

Simm4

La prima equazione del sistema

    \[xy=-2\]

rappresenta un’iperbole equilatera mentre la seconda equazione del sistema

    \[x+y=2\]

rappresenta una retta.

 


Fonte: Matematica.blu 2.0 Volume 2 – Zanichelli