Sistemi di equazioni in due variabili – Esercizio 3

Sistemi di equazioni In due variabili

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere il seguente sistema

    \[\begin{cases} 4x^2+9y^2-16x+18y=11\\ x+1=2y \end{cases}\]

 

Soluzione

Risolviamo per sostituzione. È utile precisare che conviene esplicitare la variabile da sostituire dall’equazione che non presenta il termine misto xy, dunque

    \[\begin{aligned} & \begin{cases} 4x^2+9y^2-16x+18y=11\\ x+1=2y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 4 ({\color{magenta}{2y-1}})^2 + 9y^2 - 16 ({\color{magenta}{2y-1}}) + 18y - 11 = 0\\ {\color{magenta}{x=2y-1}} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \begin{cases} 4 (4y^2+1+4y) + 9y^2 - 32y + 16 + 18 y - 11 = 0\\ x=2y-1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 25y^2 - 30y + 9 = 0 \qquad (\star)\\ x=2y-1\qquad \quad \qquad (\star \star) \end{cases} \end{aligned}\]

Risolviamo l’equazione di secondo grado (\star) adoperando la formula ridotta:

    \[x = \dfrac{15 \pm \sqrt{225 - 225}}{25} = \dfrac{3}{5}\]

da cui abbiamo la soluzione

    \[y= \dfrac{3}{5}\]

e il corrispondente x da trovare sostituendo il valore di y in (\star \star):

    \[\begin{cases} y= \dfrac{3}{5}\\\\ x=2 \cdot \dfrac{3}{5} - 1 = \dfrac{1}{5} \end{cases}\]

Dunque la soluzione è

    \[\boxed{ \left(\dfrac{1}{5} , \dfrac{3}{5}\right) }\]


Fonte: Matematica.azzurro 3 – Zanichelli