Esercizio 9 – Razionalizzazione

Radicali: razionalizzazione

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\bigstar)


Razionalizzare la seguente frazione

    \[\dfrac{6}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}}\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue, avendo ben in mente l’intenzione di sfruttare il prodotto notevole della somma di due cubi

    \[a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\]

dunque sfruttando il prodotto notevole precedente con a=\sqrt[3]{4} e b=\sqrt[3]{2}

    \[\begin{aligned} 	 & \dfrac{6}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}}  \cdot {\color{red}{ \dfrac{\sqrt[3]{4^2} - \sqrt[3]{4} \; \sqrt[3]{2}  + \sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{4^2} - \sqrt[3]{4} \; \sqrt[3]{2}  + \sqrt[3]{2^2}}}} = \dfrac{6 \cdot (\sqrt[3]{4^2} - \sqrt[3]{4} \; \sqrt[3]{2}  + \sqrt[3]{2^2})}{\underbrace{(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{4^2} - \sqrt[3]{4} \; \sqrt[3]{2}  + \sqrt[3]{2^2})}_{\text{somma di cubi}} } = \\\\ & = \dfrac{6 \cdot (\sqrt[3]{4^2} - \sqrt[3]{4} \; \sqrt[3]{2}  + \sqrt[3]{2^2})}{(\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{4})^3} = \dfrac{6 \cdot (\sqrt[3]{4^2} - \sqrt[3]{4} \; \sqrt[3]{2}  + \sqrt[3]{2^2})}{2+4} =\\\\ & =  \dfrac{6 \cdot (\sqrt[3]{4^2} - \sqrt[3]{4} \; \sqrt[3]{2}  + \sqrt[3]{2^2})}{6} =  \sqrt[3]{4^2} - \underbrace{\sqrt[3]{8}}_{=2} + \sqrt[3]{2^2} \overset{*}{=} \sqrt[3]{2^4} - 2 + \sqrt[3]{4} = 2 \sqrt[3]{2} - 2 + \sqrt[3]{4} \end{aligned}\]

dove in * abbiamo fatto il trasporto fuori radice.

 


Fonte: Matematica.verde 2 – Bergamini, Barozzi, Trifone. Ed. Zanichelli