Esercizio 8 – Razionalizzazione

Radicali: razionalizzazione

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar)


Razionalizzare la seguente frazione

    \[\dfrac{17\sqrt{15}}{2\sqrt{5} + \sqrt{3}}\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue, avendo ben in mente l’intenzione di sfruttare il prodotto notevole della somma per la differenza di binomio per togliere il radicale a denominatore

    \[\begin{aligned}  				\dfrac{17\sqrt{15}}{2\sqrt{5} + \sqrt{3}}  \cdot {\color{red}{\dfrac{2\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2\sqrt{5} - \sqrt{3}}}} & = \dfrac{17\sqrt{15} (2\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(2\sqrt{5} + \sqrt{3})(2\sqrt{5} - \sqrt{3})} \overset{\star}{=} \dfrac{17\sqrt{15} (2\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(2\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \\\\ 				& = \dfrac{17\sqrt{15} (2\sqrt{5} - \sqrt{3})}{4 \cdot 5 - 3} = \dfrac{17\sqrt{15} (2\sqrt{5} - \sqrt{3})}{17} = \\\\ 				& = \sqrt{15} (2\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2 \sqrt{5^2 \cdot 3} - \sqrt{5 \cdot 3^2} \overset{\heartsuit}{=} \\\\ 				& \overset{\heartsuit}{=} 2 \cdot 5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} = 10\sqrt{3} - 3 \sqrt{5} \end{aligned}\]

dove in \star abbiamo sfruttato il prodotto notevole della somma per la differenza di binomio (a-b)(a+b)=a^2-b^2 e nel passaggio \heartsuit abbiamo trasportato fuori dal segno di radice.

 


Fonte: Matematica.verde 2 – Bergamini, Barozzi, Trifone. Ed. Zanichelli