Esercizio 10 – Razionalizzazione

Radicali: razionalizzazione

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\bigstar)


Razionalizzare la seguente frazione

    \[\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}}.\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue, avendo ben in mente l’intenzione di sfruttare il prodotto notevole della differenza di due cubi

    \[a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\]

dunque sfruttando il prodotto notevole precedente con a=\sqrt[3]{3} e b=\sqrt[3]{2}

    \[\begin{aligned} 	 	& \dfrac{1}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}} \cdot {\color{red}{ \dfrac{\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} \; \sqrt[3]{2}  + \sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} \; \sqrt[3]{2}  + \sqrt[3]{2^2}}}} = \dfrac{\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} \; \sqrt[3]{2}  + \sqrt[3]{2^2}}{\underbrace{(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} \; \sqrt[3]{2}  + \sqrt[3]{2^2}) }_{\text{differenza di cubi}}} = \\\\ 		& =  \dfrac{\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} \; \sqrt[3]{2}  + \sqrt[3]{2^2}}{3-2} =  \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6}  + \sqrt[3]{4}. \end{aligned}\]

 


Fonte: Matematica.verde 2 – Bergamini, Barozzi, Trifone. Ed. Zanichelli.