Radicali: razionalizzazione – Esercizio 10
In questo decimo articolo sulla razionalizzazione di radicali, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo argomento. Segnaliamo anche il precedente Radicali: razionalizzazione – Esercizio 9 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
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Esercizio 
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Razionalizzare la seguente frazione
![\[\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-560c374afb1117170fbcf1d0127fa7e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento.
Procediamo come segue, avendo ben in mente l’intenzione di sfruttare il prodotto notevole della differenza di due cubi
![\[a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ede56f2cca9aebe66bfcf19fb6cd009_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dunque sfruttando il prodotto notevole precedente con ![a=\sqrt[3]{3}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ab29be4eb9b791f2a24994347e0bc9dc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e ![b=\sqrt[3]{2}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-06dba4a6edcb6981a6b84b611b34761d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{aligned} & \dfrac{1}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}} \cdot {\color{red}{ \dfrac{\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} \; \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} \; \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2}}}} = \dfrac{\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} \; \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2}}{\underbrace{(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} \; \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2}) }_{\text{differenza di cubi}}} = \\\\ & = \dfrac{\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} \; \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2}}{3-2} = \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1de9a06193c058516d78fc3ed27ab436_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")