Esercizio 5 – Razionalizzazione

Radicali: razionalizzazione

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
Razionalizzare la seguente frazione

    \[\dfrac{12}{\sqrt[5]{8}}\]

 

Soluzione. 
Abbiamo un solo radicale a denominatore con indice diverso da due, quindi bisogna moltiplicare e dividere per un radicale avente stesso indice e con radicando elevato ad un esponente tale da ottenere lo stesso indice una volta moltiplicati fra loro i denominatori, quindi

    \[\dfrac{12}{\sqrt[5]{8}} \cdot {\color{red}{\dfrac{\sqrt[5]{8^4} }{ \sqrt[5]{8^4}}}} = \dfrac{12 \cdot \sqrt[5]{8^4}}{\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{8^4}} = \dfrac{12 \cdot \sqrt[5]{8^4}}{\sqrt[5]{8^{1+4}} } = \dfrac{12 \cdot \sqrt[5]{8^4}}{\sqrt[5]{8^5} } = \dfrac{12 \cdot \sqrt[5]{8^4}}{8} = \dfrac{3 \cdot \sqrt[5]{8^4}}{2} = \dfrac{3 \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{2} = 6\sqrt[5]{4}\]

avendo trasportato fuori dal segno di radice nel penultimo passaggio:

    \[\sqrt[5]{8^4} = \sqrt[5]{(2^3)^4} = \sqrt[5]{2^{12}} = 2^2 \cdot \sqrt[5]{2^2} = 4 \sqrt[5]{4}\]

Soluzione alternativa – più veloce
Possiamo scrivere

    \[\dfrac{12}{\sqrt[5]{8}} =\dfrac{12}{\sqrt[5]{2^3}} \cdot \dfrac{\sqrt[5]{2^2}}{\sqrt[5]{2^2}} = \dfrac{12 \sqrt[5]{4}}{2} = 6 \sqrt[5]{4}\]

 


Fonte: Matematica.verde 2 – Bergamini, Barozzi, Trifone. Ed. Zanichelli