Esercizio 4 – Razionalizzazione

Radicali: razionalizzazione

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
Razionalizzare la seguente frazione

    \[\dfrac{4}{\sqrt[3]{4}}\]

 

Soluzione. 
Abbiamo un solo radicale a denominatore con indice diverso da due, quindi bisogna moltiplicare e dividere per un radicale avente stesso indice e con radicando elevato ad un esponente tale da ottenere lo stesso indice una volta moltiplicati fra loro i denominatori, quindi

    \[\dfrac{4}{\sqrt[3]{4}} \cdot {\color{red}{\dfrac{\sqrt[3]{4^2} }{ {\sqrt[3]{4^2}}}}} = \dfrac{4 \cdot \sqrt[3]{4^2} }{ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{4^2} } = \dfrac{4 \cdot \sqrt[3]{4^2} }{ \sqrt[3]{4 \cdot 4^2} } = \dfrac{4 \cdot \sqrt[3]{4^2} }{ \sqrt[3]{4^3} } = \dfrac{4 \cdot \sqrt[3]{4^2} }{4} = \sqrt[3]{2^4} = 2 \sqrt[3]{2}\]

avendo trasportato fuori dal segno di radice nell’ultimo passaggio:

    \[\sqrt[3]{{\color{blue}{4}}^2} = \sqrt[3]{({\color{blue}{2^2}})^2} = \sqrt[3]{2^4} = 2 \sqrt[3]{2}\]

 

Secondo metodo.
Possiamo scrivere

    \[\dfrac{4}{\sqrt[3]{4}} =\dfrac{4}{\sqrt[3]{2^2}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{4 \sqrt[3]{2}}{2} = 2 \sqrt[3]{2}\]

Terzo metodo.
Un ulteriore modo di semplificare la frazione è il seguente

    \[\dfrac{4}{\sqrt[3]{4}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}= \dfrac{\cancel{\sqrt[3]{4}}\cdot\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{4}}{\cancel{\sqrt[3]{4}}} = \sqrt[3]{16} = 2 \sqrt[3]{2}\]

 


Fonte: Matematica.verde 2 – Bergamini, Barozzi, Trifone. Ed. Zanichelli