Esercizio 6 – Razionalizzazione

Radicali: razionalizzazione

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)


Razionalizzare la seguente frazione

    \[\dfrac{5}{4-2\sqrt{3}}\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue, avendo ben in mente l’intenzione di sfruttare il prodotto notevole della somma per la differenza di binomio per togliere il radicale a denominatore

    \[\begin{aligned}  \dfrac{5}{4-2\sqrt{3}} \cdot {\color{red}{\dfrac{4 + 2\sqrt{3} }{ 4+2\sqrt{3}}}} & =  \dfrac{5 (4+2\sqrt{3})}{(4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})} \overset{\star}{=} \dfrac{5 (4+2\sqrt{3})}{4^2-(2\sqrt{3})^2} = \\\\ & = \dfrac{5 (4+2\sqrt{3})}{16 - 4 \cdot 3} = \dfrac{5 (4+2\sqrt{3})}{16-12} = \dfrac{5 \cdot 2(2 + \sqrt{3})}{4} = \dfrac{5(2+\sqrt{3})}{2}  \end{aligned}\]

dove in \star abbiamo sfruttato il prodotto notevole della somma per la differenza di binomio (a-b)(a+b)=a^2-b^2.

 


Fonte: Matematica.verde 2 – Bergamini, Barozzi, Trifone. Ed. Zanichelli