Espressioni con i radicali – Esercizio 4

Radicali: Operazioni

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar)
Semplificare la seguente espressione

    \[2 \sqrt{\dfrac{27}{8}} + 5 \sqrt{\dfrac{3}{50}} + 7 \sqrt{\dfrac{27}{98}} - 5 \sqrt{\dfrac{147}{50}}\]

 

Soluzione

Due radicali si dicono simili quando hanno stesso indice e radicando ma differente coefficiente. Le operazioni di somma e sottrazione si possono fare fra radicali simili. Per risolvere l’espressione scomponiamo in fattori primi i radicandi:

    \[\begin{aligned} 	&\dfrac{27}{8} = \dfrac{3^3}{2^3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 && \hspace{2cm} \dfrac{3}{50} = \dfrac{3}{5^2 \cdot 2} \\ 	& \dfrac{27}{98} = \dfrac{3^3}{7^2 \cdot 2}  && \hspace{2cm} \dfrac{147}{50} = \dfrac{7^2 \cdot 3}{5^2 \cdot 2} \end{aligned}\]

Quindi l’espressione diventa

    \[\begin{aligned} 	2 \sqrt{\dfrac{27}{8}} + 5 \sqrt{\dfrac{3}{50}} + 7 \sqrt{\dfrac{27}{98}} - 5 \sqrt{\dfrac{147}{50}} & = 2 \sqrt{ \left(\dfrac{3}{2}\right)^3} + 5 \sqrt{\dfrac{3}{5^2 \cdot 2}} + 7 \sqrt{\dfrac{3^3}{7^2 \cdot 2}} - 5 \sqrt{\dfrac{7^2 \cdot 3}{5^2 \cdot 2}} = \\\\ 	& = 2 \cdot \dfrac{3}{2} \sqrt{\dfrac{3}{2}}+ 5 \cdot \dfrac{1}{5} \sqrt{\dfrac{3}{2}} + 7 \cdot \dfrac{3}{7} \sqrt{\dfrac{3}{2}} - 5 \cdot \dfrac{7}{5} \sqrt{\dfrac{3}{2}} = \\\\ 	& = 3 \sqrt{\dfrac{3}{2}} + \sqrt{\dfrac{3}{2}} + 3 \sqrt{\dfrac{3}{2}} - 7 \sqrt{\dfrac{3}{2}} = 0  \end{aligned}\]


Fonte: Matematica.verde 2 – Zanichelli