Espressioni con i prodotti notevoli – Esercizio 3

Polinomi: prodotti notevoli e triangolo di Tartaglia

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Semplificare la seguente espressione con i prodotti notevoli

$\{[x^3-y^3+(x+y)^3+2x^2y-x(2x+3y)(x+y)]^2 - 2\}^3$

Soluzione

Il prodotto notevole presente nell’espressione è il cubo di binomio che dà

$(x+y)^3 = x^3+y^3+3x^2y+3xy^2$

Quindi l’espressione diventa

$\begin{aligned} & \{[x^3-y^3+(x+y)^3+2x^2y-x(2x+3y)(x+y)]^2 - 2\}^3 =\\\\ & = \{[x^3-y^3+ x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+2x^2y-x(2x^2+2xy + 3xy + 3y^2)]^2 - 2\}^3 = \\\\ & = \{[x^3\cancel{-y^3}+ x^3+\cancel{y^3}+3x^2y+3xy^2+2x^2y-(2x^3+5x^2y + 3xy^2)]^2 - 2\}^3 = \\\\ & = \{[x^3+ x^3 +3x^2y+3xy^2+2x^2y-2x^3-5x^2y - 3xy^2)]^2 - 2\}^3 = \\\\ & = \{[0]^2-2\}^3 = \boxed{-8} \end{aligned}$