Espressioni con i prodotti notevoli – Esercizio 4

Polinomi: prodotti notevoli e triangolo di Tartaglia

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Semplificare la seguente espressione con i prodotti notevoli

    \[\left(1 - \dfrac{2}{3}a^3\right)^3 + \left(2a+\dfrac{1}{2}a^2\right)^2 - \dfrac{1}{3} (-a)^4 \left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{8}{9}a^5\right) - \dfrac{4}{3}a^6\]

 

Soluzione

I prodotti notevoli presenti nell’espressione sono il quadrato di binomio che diventa

    \[\left(2a+\dfrac{1}{2}a^2\right)^2 = 4a^2+\dfrac{1}{4}a^4 + 2a^3\]

poi il cubo di binomio che dà

    \[\left(1 - \dfrac{2}{3}a^3\right)^3 = 1 - \dfrac{8}{27}a^9 - 2a^3 + \dfrac{4}{3}a^6\]

Quindi l’espressione diventa

    \[\begin{aligned} & \left(1 - \dfrac{2}{3}a^3\right)^3 + \left(2a+\dfrac{1}{2}a^2\right)^2 - \dfrac{1}{3} (-a)^4 \left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{8}{9}a^5\right) - \dfrac{4}{3}a^6 = \\\\ & = 1 - \dfrac{8}{27}a^9 - 2a^3 + \dfrac{4}{3}a^6 + 4a^2+\dfrac{1}{4}a^4 + 2a^3 - \dfrac{1}{3}a^4 \left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{8}{9}a^5\right) - \dfrac{4}{3}a^6=\\\\ & = 1 - \dfrac{8}{27}a^9 \cancel{- 2a^3} + \dfrac{4}{3}a^6 + 4a^2+\dfrac{1}{4}a^4 \cancel{+ 2a^3} - \dfrac{1}{4}a^4 + \dfrac{8}{27}a^9 - \dfrac{4}{3}a^6=\\\\ & = 1 \cancel{- \dfrac{8}{27}a^9} + \cancel{\dfrac{4}{3}a^6} + 4a^2+\cancel{\dfrac{1}{4}a^4} \cancel{- \dfrac{1}{4}a^4} + \cancel{\dfrac{8}{27}a^9} - \cancel{\dfrac{4}{3}a^6}=\\\\ & = \boxed{ 4a^2+1 } \end{aligned}\]


Fonte: Algebra.blu 2 – Zanichelli