Espressioni con i prodotti notevoli – Esercizio 1

Polinomi: prodotti notevoli e triangolo di Tartaglia

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Semplificare la seguente espressione con i prodotti notevoli

    \[(x+2)^2 - 3(x+2)(x-2)+(x-2)^3-x^2(x-8)\]

 

Soluzione

I prodotti notevoli presenti nell’espressione sono il quadrato di binomio (x+2)^2, la somma di monomi per la loro differenza (x+2)(x-2) ed infine il cubo di binomio (x-2)^3. Il quadrato di binomio diventa

    \[(x+2)^2 = x^2+4x+4\]

somma di monomi per la loro differenza fornisce

    \[(x+2)(x-2) = x^2-4\]

ed infine il cubo di binomio dà

    \[(x-2)^3 = x^3-8+12x-6x^2\]

Quindi l’espressione diventa

    \[\begin{aligned} & (x+2)^2 - 3(x+2)(x-2)+(x-2)^3-x^2(x-8) = \\ & = x^2+4x+4 - 3 (x^2-4) +x^3-8+12x-6x^2 - x^3+8x^2 = \\ & = x^2+4x+4 - 3x^2 +12 +x^3-8+12x-6x^2 - x^3+8x^2 = \\ & = \cancel{x^2} +4x+4 \cancel{- 3x^2} +12 \cancel{+x^3}-8+12x\cancel{-6x^2} \cancel{- x^3} \cancel{+8x^2} = \\ & = \boxed{16x + 8} \end{aligned}\]


Fonte: Algebra.blu 2 – Zanichelli