Equazione in valore assoluto – Esercizio 5

Modulo o valore assoluto: Equazioni

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Esercizio. (\bigstar\bigstar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione con un valore assoluto

    \[\vert x^3-2x^2 \vert = 2-x\]

 

Soluzione

Quando a membro destro abbiamo un polinomio e non una costante, dobbiamo esplicitare il valore assoluto

    \[\vert x^3-2x^2 \vert = \begin{cases} x^3-2x^2, \qquad &\mbox{se } x^3-2x^2\ge0 \qquad \boxed{\text{I}}\\ -x^3+2x^2, \qquad &\mbox{se } x^3-2x^2<0\qquad \boxed{\text{II}} \end{cases}\]

Per cui dobbiamo impostare due sistemi. Il primo sistema è costituito dalla legge I e dall’equazione dove abbiamo esplicitato il valore assoluto con la legge data dalla condizione I:

    \[\begin{cases} x^3-2x^2\ge0\\\\ x^3-2x^2 = 2-x \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=0 \; \wedge \; x\ge 2 \\\\ (x^2+1)(x-2)=0 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=0 \; \wedge \; x\ge 2 \\\\ x=2 \end{cases}\]

Dato che x=2 rientra nell’intervallo di valori accettabili, poiché maggiore o uguale di 2 allora x=2 è soluzione. Occupiamoci ora del secondo sistema costituito dalla legge II e dall’equazione dove abbiamo esplicitato il valore assoluto con la legge data dalla condizione II:

    \[\begin{cases} x^3-2x^2<0\\\\ -x^3+2x^2 = 2-x \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\neq0 \; \wedge \; x< 2 \\\\ (-x^2+1)(x-2)=0 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\neq0 \; \wedge \; x< 2 \\\\ x=2 \; \vee \; x=\pm1 \end{cases}\]

Dato che solo x=\pm1 rientrano nell’intervallo di valori accettabili, poiché minori di 2 e diversi da zero, allora x=\pm 1 sono soluzioni. Concludiamo che le soluzioni sono

    \[\boxed{S: x=2 \; \vee \; x=1 \; \vee \; x=-1}\]


Fonte: Matematica.Blu 2.0 – Volume 3 – Zanichelli