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Equazione in valore assoluto – Esercizio 6

Modulo o valore assoluto: Equazioni

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Esercizio. (\bigstar\bigstar\bigstar) Risolvere la seguente equazione con due valori assoluti

    \[\vert 2x+1 \vert + \vert -x+1 \vert = x+4\]

 

Soluzione

Quando abbiamo due valori assoluti dobbiamo esplicitarli entrambi:

    \[\vert 2x+1 \vert = \begin{cases} 2x+1, \qquad &\mbox{se } 2x+1\ge0\\ -2x-1, \qquad &\mbox{se } 2x+1<0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \vert 2x+1 \vert = \begin{cases} 2x+1, \qquad &\mbox{se } x\ge-\frac{1}{2}\\ -2x-1, \qquad &\mbox{se } x<-\frac{1}{2} \end{cases}\]

e

    \[\vert -x+1 \vert = \begin{cases} -x+1, \qquad &\mbox{se } -x+1\ge0\\ x-1, \qquad &\mbox{se } -x+1<0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \vert -x+1 \vert= \begin{cases} -x+1, \qquad &\mbox{se } x\le1\\ x-1, \qquad &\mbox{se } x>1 \end{cases}\]

Ora dobbiamo unire questi risultati in un unico grafico, abbiamo tre intervalli da considerare e in ognuno di essi abbiamo il “segno” del valore assoluto, cioè se l’argomento è lo stesso del valore assoluto o l’opposto:

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Il sistema I è dato da

    \[\begin{cases} x<-\dfrac{1}{2}\\\\ -2x-1+(-x+1) = x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x<-\dfrac{1}{2}\\\\ x=-1 \quad \text{accettabile} \end{cases}\]

Il sistema II è dato da

    \[\begin{cases} -\dfrac{1}{2}\le x \le 1\\\\ 2x+1+(-x+1) = x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} -\dfrac{1}{2}\le x \le 1\\\\ \nexists \; x \in \mathbb{R} \end{cases}\]

Il sistema III è dato da

    \[\begin{cases} x>1\\\\ 2x+1+(x-1) = x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x>1\\\\ x=2\quad \text{accettabile} \end{cases}\]

Quindi le soluzioni sono

    \[\boxed{ S: x=2 \; \vee \; x=-1}\]


Fonte: Matematica.Blu 2.0 – Volume 3 – Zanichelli
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