Esercizio. 
Risolvere la seguente equazione con due valori assoluti
Risolvere la seguente equazione con due valori assoluti
![\[\vert 2x+1 \vert + \vert -x+1 \vert = x+4\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf94a76b60ea9d44cbb9d8dc87c0c90e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soluzione
Quando abbiamo due valori assoluti dobbiamo esplicitarli entrambi:
![\[\vert 2x+1 \vert = \begin{cases} 2x+1, \qquad &\mbox{se } 2x+1\ge0\\ -2x-1, \qquad &\mbox{se } 2x+1<0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \vert 2x+1 \vert = \begin{cases} 2x+1, \qquad &\mbox{se } x\ge-\frac{1}{2}\\ -2x-1, \qquad &\mbox{se } x<-\frac{1}{2} \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-06e728dad858acce2c22e79a20d3c5ca_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e
![\[\vert -x+1 \vert = \begin{cases} -x+1, \qquad &\mbox{se } -x+1\ge0\\ x-1, \qquad &\mbox{se } -x+1<0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \vert -x+1 \vert= \begin{cases} -x+1, \qquad &\mbox{se } x\le1\\ x-1, \qquad &\mbox{se } x>1 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac33e495a1ba8efcd373f58ac2794665_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ora dobbiamo unire questi risultati in un unico grafico, abbiamo tre intervalli da considerare e in ognuno di essi abbiamo il “segno” del valore assoluto, cioè se l’argomento è lo stesso del valore assoluto o l’opposto:
Il sistema I è dato da
![\[\begin{cases} x<-\dfrac{1}{2}\\\\ -2x-1+(-x+1) = x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x<-\dfrac{1}{2}\\\\ x=-1 \quad \text{accettabile} \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f17f4b64e62165fb034f2863bf92b861_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il sistema II è dato da
![\[\begin{cases} -\dfrac{1}{2}\le x \le 1\\\\ 2x+1+(-x+1) = x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} -\dfrac{1}{2}\le x \le 1\\\\ \nexists \; x \in \mathbb{R} \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6a4f21d3cb7a6f1ad0b0dbda0e4fc35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il sistema III è dato da
![\[\begin{cases} x>1\\\\ 2x+1+(x-1) = x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x>1\\\\ x=2\quad \text{accettabile} \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17457704c69e9a508e1f7a941c76850d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quindi le soluzioni sono
![\[\boxed{ S: x=2 \; \vee \; x=-1}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-edaf925feb32e255b044efe32af14b04_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Matematica.Blu 2.0 – Volume 3 – Zanichelli