Equazioni con valore assoluto – Esercizio 6
In questo sesto articolo sulle equazioni con valore assoluto, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo tema. Segnaliamo anche il precedente Equazioni con valore assoluto – Esercizio 5 per ulteriore materiale sulle equazioni con valore assoluto.
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Esercizio 
. Risolvere la seguente equazione con due valori assoluti
. Risolvere la seguente equazione con due valori assoluti
![\[\vert 2x+1 \vert + \vert -x+1 \vert = x+4.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-328cefeb1c174df68981bc69e85b3389_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento.
Quando abbiamo due valori assoluti dobbiamo esplicitarli entrambi:
![\[\vert 2x+1 \vert = \begin{cases} 2x+1, \qquad &\mbox{se } 2x+1\ge0\\ -2x-1, \qquad &\mbox{se } 2x+1<0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \vert 2x+1 \vert = \begin{cases} 2x+1, \qquad &\mbox{se } x\ge-\frac{1}{2}\\ -2x-1, \qquad &\mbox{se } x<-\frac{1}{2} \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-06e728dad858acce2c22e79a20d3c5ca_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
e
![\[\vert -x+1 \vert = \begin{cases} -x+1, \qquad &\mbox{se } -x+1\ge0\\ x-1, \qquad &\mbox{se } -x+1<0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \vert -x+1 \vert= \begin{cases} -x+1, \qquad &\mbox{se } x\le1\\ x-1, \qquad &\mbox{se } x>1. \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-77af81063e4dd27f10c76bdd40781324_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ora dobbiamo unire questi risultati in un unico grafico, abbiamo tre intervalli da considerare e in ognuno di essi abbiamo il “segno” del valore assoluto, cioè se l’argomento è lo stesso del valore assoluto o l’opposto:
Il sistema I è dato da
![\[\begin{cases} x<-\dfrac{1}{2}\\\\ -2x-1+(-x+1) = x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x<-\dfrac{1}{2}\\\\ x=-1 \quad \text{accettabile}. \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5959e4a6254ee06175bca50ccaafe978_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il sistema II è dato da
![\[\begin{cases} -\dfrac{1}{2}\le x \le 1\\\\ 2x+1+(-x+1) = x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} -\dfrac{1}{2}\le x \le 1\\\\ \nexists \; x \in \mathbb{R}. \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8897e63b52801dfb9f624a89bc80460b_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il sistema III è dato da
![\[\begin{cases} x>1\\\\ 2x+1+(x-1) = x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x>1\\\\ x=2\quad \text{accettabile}. \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-49bd9a55913e82c3ea7051c6ba13d419_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quindi le soluzioni sono
![\[\boxcolorato{superiori}{ S = \left\{x \in \mathbb{R} \,\middle\vert\, x=2 \; \vee \; x=-1\right\}.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f2be7cd213cff75864fa3f6861b18d1_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Matematica.Blu 2.0 – Volume 3 – Zanichelli
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