Equazione in valore assoluto – Esercizio 4

Modulo o valore assoluto: Equazioni

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione con un valore assoluto

    \[\vert x-3\vert = \dfrac{1}{2}(x-4)-6x\]

 

Soluzione

Prima di tutto facciamo i calcoli

    \[\vert x-3\vert = \dfrac{1}{2}(x-4)-6x \quad \Rightarrow \quad \vert x-3\vert = -2-\dfrac{11}{2}x\]

Quando a membro destro abbiamo un polinomio e non una costante, dobbiamo esplicitare il valore assoluto

    \[\vert x-3 \vert = \begin{cases} 	x-3, \qquad &\mbox{se } x-3\ge0 \qquad \boxed{\text{I}}\\ 	-x+3, \qquad &\mbox{se } x-3<0\qquad \boxed{\text{II}} \end{cases}\]

Per cui dobbiamo impostare due sistemi. Il primo sistema è costituito dalla legge I e dall’equazione dove abbiamo esplicitato il valore assoluto con la legge data dalla condizione I:

    \[\begin{cases} 	x-3\ge0\\\\ 	x-3  = -2-\dfrac{11}{2}x \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	x\ge3\\\\ 	x=\dfrac{2}{13} \end{cases}\]

Dato che x=2/13 non rientra nell’intervallo di valori accettabili, poiché maggiore o uguale di 3 allora x=2/13 non è soluzione. Occupiamoci ora del secondo sistema costituito dalla legge II e dall’equazione dove abbiamo esplicitato il valore assoluto con la legge data dalla condizione II:

    \[\begin{cases} 	x-3<0\\ 	-x+3  = -2-\dfrac{11}{2}x \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	x<3\\\\ 	x=-\dfrac{10}{9} \end{cases}\]

Dato che x=-10/9 rientra nell’intervallo di valori accettabili, poiché minore di 3 allora x=-10/9 è soluzione. Concludiamo che la soluzione è

    \[\boxed{S: x=-10/9}\]


Fonte: Matematica.Blu 2.0 – Volume 3 – Zanichelli