Equazione in valore assoluto – Esercizio 3

Modulo o valore assoluto: Equazioni

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione con un valore assoluto

    \[\vert 3x-5 \vert = 2x+1\]

 

Soluzione

Quando a membro destro abbiamo un polinomio e non una costante, dobbiamo esplicitare il valore assoluto

    \[\vert 3x-5 \vert = \begin{cases} 	3x-5, \qquad &\mbox{se } 3x-5\ge0 \qquad \boxed{\text{I}}\\ 	-3x+5, \qquad &\mbox{se } 3x-5<0\qquad \boxed{\text{II}} \end{cases}\]

Per cui dobbiamo impostare due sistemi. Il primo sistema è costituito dalla legge I e dall’equazione dove abbiamo esplicitato il valore assoluto con la legge data dalla condizione I:

    \[\begin{cases} 	3x-5\ge0\\ 	3x-5 = 2x+1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge \dfrac{5}{3}\\\\ x=6 \end{cases}\]

Dato che x=6 rientra nell’intervallo di valori accettabili, poiché maggiore o uguale di 5/3 allora x=6 è soluzione. Occupiamoci ora del secondo sistema costituito dalla legge II e dall’equazione dove abbiamo esplicitato il valore assoluto con la legge data dalla condizione II:

    \[\begin{cases} 	3x-5<0\\ 	-3x+5 = 2x+1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	x< \dfrac{5}{3}\\\\ 	x=\dfrac{4}{5} \end{cases}\]

Dato che x=4/5 rientra nell’intervallo di valori accettabili, poiché minore di 5/3 allora x=4/5 è soluzione. Concludiamo che le soluzioni sono

    \[\boxed{S: x=6 \; \vee \; x=\dfrac{4}{5}}\]


Fonte: Matematica.Blu 2.0 – Volume 3 – Zanichelli