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Disequazioni in modulo o valore assoluto – Esercizio 2

Modulo o valore assoluto: Disequazioni

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente disequazione in valore assoluto

    \[\vert 3x^2-1 \vert \ge 2\]

 

Soluzione a)
Ricordiamo che il valore assoluto di un polinomio A(x) è definito come segue

    \[\vert A(x) \vert = \begin{cases} A(x), \qquad \mbox{se } A(x)\ge0\\ -A(x), \qquad \mbox{se } A(x)<0\\ \end{cases}\]

e quindi in particolare \vert A(x) \vert \ge 0, per ogni valore reale di x.
Nel caso di disequazioni in valore assoluto dove a membro destro abbiamo una costante, possiamo applicare quanto segue

(1)   \begin{equation*} \begin{aligned} & \vert A(x)\vert \ge k \quad \Leftrightarrow \quad A(x)\le -k \quad \vee \quad A(x) \ge k \qquad k>0 \\ &\vert A(x)\vert \le k \quad \Leftrightarrow \quad -k \le A(x) \le k \qquad k>0 \end{aligned} \end{equation*}

Dunque applicando (1)_1 abbiamo

    \[\vert 3x^2-1 \vert \ge 2 \quad \Leftrightarrow \quad 3x^2-1 \le -2 \quad \vee \quad 3x^2-1 \ge 2\]

Risolviamo le due disequazioni separatamente; la prima si risolve come segue

    \[3x^2-1 \le -2 \quad \Leftrightarrow \quad 3x^2\le -1 \quad \Rightarrow \quad \nexists \, x \in \mathbb{R}\]

e la seconda

    \[3x^2-1 \ge 2 \quad \Leftrightarrow \quad 3x^2\ge 3 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 \ge 1 \quad \Leftrightarrow \quad x\le -1 \; \vee \; x\ge1\]

quindi la soluzione finale è

    \[S: x\le -1 \quad \vee \quad x\ge1\]

 


Fonte: Qui Si Risolve
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