Disequazioni in modulo o valore assoluto – Esercizio 3

Modulo o valore assoluto: Disequazioni

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente disequazione in valore assoluto

    \[\vert 5x^2-3 \vert < 2\]

 

Soluzione a)
Ricordiamo che il valore assoluto di un polinomio A(x) è definito come segue

    \[\vert A(x) \vert = \begin{cases} A(x), \qquad \mbox{se } A(x)\ge0\\ -A(x), \qquad \mbox{se } A(x)<0\\ \end{cases}\]

e quindi in particolare \vert A(x) \vert \ge 0, per ogni valore reale di x.
Nel caso di equazioni in valore assoluto dove a membro destro abbiamo una costante, possiamo applicare quanto segue

(1)   \begin{equation*} \begin{aligned} & \vert A(x)\vert \ge k \quad \Leftrightarrow \quad A(x)\le -k \quad \vee \quad A(x) \ge k \qquad k>0 \\ &\vert A(x)\vert \le k \quad \Leftrightarrow \quad -k \le A(x) \le k \qquad k>0 \end{aligned} \end{equation*}

Dunque applicando (1)_2 abbiamo

    \[\vert 5x^2-3 \vert < 2 \quad \Leftrightarrow \quad -2 < 5x^2-3 <2\]

che è equivalente al seguente sistema

    \[\begin{cases} 5x^2-3 <2\\ 5x^2-3>-2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 5x^2 <5\\ 5x^2>1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2 < 1 \\ x^2>\dfrac{1}{5} \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -1<x<1 \\ x<-\dfrac{\sqrt{5}}{5} \quad \vee \quad x>\dfrac{\sqrt{5}}{5} \end{cases}\]

da cui

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per cui la soluzione è

    \[-1 < x < - \dfrac{\sqrt{5}}{5} \quad \vee \quad \dfrac{\sqrt{5}}{5}<x<1\]

 


Fonte: Qui Si Risolve