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Disequazioni in modulo o valore assoluto – Esercizio 1

Modulo o valore assoluto: Disequazioni

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere le seguenti disequazioni in valore assoluto

    \[\begin{aligned} & \text{1)} \; \vert 5x-1 \vert \ge 0\\ & \text{2)} \; \vert 2x+3 \vert > 0\\ & \text{3)} \; \vert 7-x \vert \le 0\\ & \text{4)} \; \vert x+8 \vert < 0\\ \end{aligned}\]

 

Soluzione a)
Ricordiamo che il valore assoluto di un polinomio A(x) è definito come segue

    \[\vert A(x) \vert = \begin{cases} A(x), \qquad \mbox{se } A(x)\ge0\\ -A(x), \qquad \mbox{se } A(x)<0\\ \end{cases}\]

e quindi in particolare \vert A(x) \vert \ge 0, per ogni valore reale di x.
Da ciò la disequazione in 1)

    \[\vert 5x-1 \vert \ge 0\]

è vera per ogni valore reale di x.
Ora risolviamo la disequazione in 2)

    \[\vert 2x+3 \vert > 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2x+3 \neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \neq - \dfrac{3}{2}\]

Ora risolviamo la disequazione in 3)

    \[\vert 7-x \vert \le 0 \quad \Leftrightarrow \quad 7-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=7\]

poichè al più la disequazione è verificata quando l’argomento è uguale a zero.
Infine risolviamo la disequazione in 4)

    \[\vert x+8 \vert < 0\]

che è impossibile poiché per definizione il valore assoluto \vert A(x) \vert è sempre non negativo.

 


Fonte: Qui Si Risolve