Equazioni irrazionali – Esercizio 8

Equazioni irrazionali

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvi la seguente equazione irrazionale

    \[\sqrt{x^2-9}=x+1\]

 

Soluzione

Per risolvere un’equazione irrazionale del tipo

    \[\sqrt{A(x)} = B(x)\]

dobbiamo impostare il seguente sistema

    \[\begin{cases} 	A(x)\ge0\\ 	B(x)\ge0\\ 	A(x)=[B(x)]^2 \end{cases}\]

Applicando quanto scritto al nostro caso, sapendo che

    \[A(x)= x^2-9 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)= x+1\]

abbiamo

    \[\begin{aligned} 	&	\begin{cases} 		 x^2-9 \ge 0\\ 		x+1\ge0\\ 		 x^2-9=(x+1)^2 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 	\begin{cases} 		x^2\ge 9\\ 		x\ge-1\\ 		x^2-9=x^2+2x+1 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad\\\\ 	& \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 		x\le-3 \quad \vee \quad x\ge3\\ 		x\ge-1\\ 		2x=-10 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 	\begin{cases} 			x\le-3 \quad \vee \quad x\ge3\\ 		x\ge-1\\ 		x=-5 	\end{cases}  \end{aligned}\]

e con il grafico delle linee abbiamo

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da cui deduciamo che la soluzione x=-5 non è accettabile, quindi l’equazione è impossibile:

    \[\boxed{\nexists \, x \in \mathbb{R}}\]


Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli