Equazioni irrazionali – Esercizio 7

Equazioni irrazionali

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvi la seguente equazione irrazionale

    \[\sqrt{x^2-x}=2x\]

 

Soluzione

Per risolvere un’equazione irrazionale del tipo

    \[\sqrt{A(x)} = B(x)\]

dobbiamo impostare il seguente sistema

    \[\begin{cases} 	A(x)\ge0\\ 	B(x)\ge0\\ 	A(x)=[B(x)]^2 \end{cases}\]

Applicando quanto scritto al nostro caso, sapendo che

    \[A(x)= x^2-x \qquad \mbox{e} \qquad B(x)=2x\]

abbiamo

    \[\begin{aligned} 	&	\begin{cases} 		x^2-x \ge 0\\ 		2x\ge0\\ 		x^2-x=(2x)^2 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 	\begin{cases} 		x(x-1)\ge0\\ 		x\ge0\\ 		x^2-x=4x^2 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad\\\\ 	& \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 		x\le0 \quad \vee \quad x\ge1\\ 		x\ge0\\ 		3x^2+x=0 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 	\begin{cases} 		x\le0 \quad \vee \quad x\ge1\\ x\ge0\\ 		x=0 \quad \vee \quad x=-\dfrac{1}{3} 	\end{cases}  \end{aligned}\]

Il sistema quindi si riduce a vedere se le nostre soluzioni sono accettabili, cioè rientrano nell’intervallo di valori reali accettabili dato dalle disequazioni:

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L’unico valore accettabile è x=0, quindi la soluzione è

    \[\boxed{x=0}\]


Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli