Equazioni irrazionali – Esercizio 6

Equazioni irrazionali

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvi la seguente equazione irrazionale

    \[\sqrt{x^2-1}=x+3\]

 

Soluzione

Per risolvere un’equazione irrazionale del tipo

    \[\sqrt{A(x)} = B(x)\]

dobbiamo impostare il seguente sistema

    \[\begin{cases} 	A(x)\ge0\\ 	B(x)\ge0\\ 	A(x)=[B(x)]^2 \end{cases}\]

Applicando quanto scritto al nostro caso, sapendo che

    \[A(x)= x^2-1 \qquad \mbox{e} \qquad B(x)=x+3\]

abbiamo

    \[\begin{aligned} &	\begin{cases} 		x^2-1 \ge 0\\ 		x+3\ge0\\ 		x^2-1=(x+3)^2 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 	\begin{cases} 	x\le-1 \quad \vee \quad x\ge 1\\ 	x\ge-3\\ 	x^2-1=x^2+6x+9 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\le-1 \quad \vee \quad x\ge 1\\ x\ge-3\\ 6x=-10 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\le-1 \quad \vee \quad x\ge 1\\ x\ge-3\\ x=-\dfrac{5}{3} \end{cases}  \end{aligned}\]

Il sistema quindi si riduce a vedere se la nostra soluzione x=-\frac{5}{3} è accettabile, cioè rientra nell’intervallo di valori reali accettabili dato dalle disequazioni:

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quindi deduciamo che la soluzione è accettabile ovvero

    \[\boxed{x=-\dfrac{5}{3}}\]

è soluzione.


Fonte: Matematica.blu 2 – Zanichelli