Equazioni irrazionali – Esercizio 4

Equazioni irrazionali

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)


Risolvere la seguente equazione irrazionale:

    \[3+x = 4 - \sqrt{x^2-4x}\]

 

Soluzione.
Per risolvere un’equazione irrazionale del tipo

    \[\sqrt{A(x)} = B(x)\]

dobbiamo impostare il seguente sistema

    \[\begin{cases} A(x)\ge0\\ B(x)\ge0\\ A(x)=[B(x)]^2 \end{cases}\]

Prima di tutto portiamo a sinistra il radicale e a destra i termini che non sono sotto radice

    \[\sqrt{x^2-4x} = 1-x\]

e procediamo impostando il sistema:

    \[\begin{cases} x^2-4x\ge0\\ 1-x\ge 0\\ x^2-4x= (1-x)^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\le0 \; \vee \; x\ge4\\ x \le 1\\ x^2-4x= x^2-2x+1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\le0 \; \vee \; x\ge4\\ x \le 1\\ -2x=1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\le0 \; \vee \; x\ge4\\\\ x \le 1\\\\ x= -\dfrac{1}{2} \end{cases}\]

da cui abbiamo

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deducendone che x=-\dfrac{1}{2} è soluzione dell’equazione.

 


Fonte: Matematica Verde 3A – Ed. Zanichielli