Esercizio 4 – Equazione di secondo grado parametrica

Equazioni di secondo grado parametriche

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare per quali valori di k l’equazione

    \[x^2-kx-2=0\]

soddisfa le seguenti condizioni:
a) le soluzioni sono reali e la somma dei loro quadrati è 13
b) le soluzioni sono reali e la somma dei loro reciproci è uguale a -2

 

Soluzione

I coefficienti dell’equazione di secondo grado possono essere costanti o dipendere da k. Per semplicità di notazione li denotiamo con A,B e C senza evidenziare la dipendenza dal parametro k dove necessario, dunque abbiamo

    \[A = 1 \qquad B=-k \qquad C=-2.\]

Svolgimento a)
Le soluzioni di un’equazione di secondo grado

    \[Ax^2+Bx+C=0\]

sono reali quando \Delta\ge0, quindi impostiamo

    \[\Delta\ge0 \quad \Rightarrow \quad B^2-4AC \ge 0 \quad \Rightarrow \quad (-k)^2-4\cdot 1 \cdot (-2) \ge 0 \quad \Rightarrow \quad k^2 +8 \ge0 \quad \Rightarrow \quad \forall \, k \in \mathbb{R}\]

Quindi le soluzioni sono reali per ogni valore reale di k. Dunque, andiamo a calcolare per quale valore di k la somma dei quadrati delle soluzioni è 13. Facciamo i calcoli tenendo a mente che conosciamo come calcolare solo somma e prodotto:

    \[- \dfrac{B}{A} = \text{somma}\]

e

    \[\dfrac{C}{A} = \text{prodotto}\]

per cui

    \[x_1^2+x_2^2 = 13 \quad \Rightarrow \quad (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = 13 \quad \Rightarrow \quad \text{somma}^2 - 2 \; \text{prodotto} = 13\]

quindi

    \[\dfrac{B^2}{A^2}-2\dfrac{C}{A} = 13 \quad \Rightarrow \quad B^2-2AC = 13A^2\]

e risolvendo abbiamo

    \[B^2-2AC = 13A^2  \quad \Rightarrow \quad k^2 - 2 \cdot 1 \cdot (-2) = 13 \cdot 1^2 \quad \Rightarrow \quad k^2 +4=13 \quad \Rightarrow \quad k^2=9 \quad \Rightarrow \quad k=\pm 3\]

entrambi valori accettabili.

Svolgimento b)
Da prima abbiamo già visto che le soluzioni sono reali per ogni valore di k, quindi andiamo a fare i calcoli

    \[\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2} = -2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x_1+x_2}{x_1 \cdot x_2} = -2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\text{somma}}{\text{prodotto}}=-2\]

da cui

    \[\dfrac{-B}{C} = -2\]

quindi

    \[\dfrac{k}{-2}=-2 \quad \Rightarrow \quad k=4\]

che risulta accettabile.


Fonte: La matematica a colori 2 – edizione blu