Esercizio 5 – Equazione di secondo grado parametrica

Equazioni di secondo grado parametriche

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Data l’equazione parametrica

    \[kx^2+(2k+3)x+k+1=0, \qquad k \neq 0\]

determina per quali valori di k:
1) le soluzioni sono reali
2) le soluzioni sono reali e distinte
3) l’equazione ammette una soluzione pari a 2
4) le soluzioni sono opposte
5) le soluzioni sono reciproche
6) la somma delle soluzioni è \frac{3}{4}
7) la somma dei quadrati delle soluzioni è 2
8) la somma dei cubi delle soluzioni è 0
9) le soluzioni sono negative

 

Soluzione

Identifichiamo

    \[A = k, \qquad B = 2k+3 \qquad \mbox{ e } \quad C = k+1.\]

Soluzione Punto 1.
Il primo punto ci chiede per quali valori di k le soluzioni sono reali, pertanto basta impostare che

    \[\Delta = B^2-4AC  \ge 0\]

da cui

    \[\begin{aligned} & (2k+3)^2-4 \,\left(k\right) \, \left(k+1\right) \geq 0\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad 9+8k \geq 0\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad k \ge - \dfrac{9}{8} \end{aligned}\]

Soluzione Punto 2.
Il secondo punto ci chiede per quali valori di k le soluzioni sono reali e distinte, quindi questa volta basta impostare che

    \[\Delta =B^2-4AC  > 0\]

da cui abbiamo un risultato analogo a prima

    \[k > - \dfrac{9}{8}\]

Soluzione Punto 3.
Il terzo punto ci chiede per quali valori di k l’equazione ammette soluzione pari ad 2, pertanto basta sostituire x=2 nell’equazione per ottenere

    \[\begin{aligned} & k \, (2)^2 + (2k+3) \, 2 + k + 1 = 0\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad 4k+4k+6+k+1=0\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad 9k=-7\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad k=-\dfrac{7}{9} \end{aligned}\]

accettabile per il punto 1).

Soluzione Punto 4.
Avere soluzioni reali opposte significa che la loro somma è nulla, pertanto basta impostare che

    \[-\dfrac{B}{A} = 0\]

da cui, con A \neq 0 \, \Leftrightarrow \, k \neq 0, abbiamo

    \[B= 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2k+3=0 \quad \Leftrightarrow \quad k =-\dfrac{3}{2}\]

non accettabile per il punto 1).

Soluzione Punto 5.
Avere soluzioni reciproche significa avere

    \[x_1 = \dfrac{1}{x_2}\]

ovvero

    \[x_1 \; x_2 = 1\]

da cui notiamo che ci basta imporre che il prodotto delle soluzioni sia pari ad 1. Pertanto

    \[\dfrac{C}{A}= 1\]

e con A \neq 0 \, \Leftrightarrow \, k \neq 0 otteniamo

    \[C=A.\]

Sostituendo abbiamo

    \[k+1=k\]

che è impossibile, dunque non esistono valori di k accettabili.

Soluzione Punto 6.
La somma delle soluzioni uguale a \frac{3}{4} equivale a risolvere

    \[-\dfrac{B}{A}= \dfrac{3}{4}\]

pertanto

    \[\begin{aligned} & -\dfrac{B}{A}= \dfrac{3}{4} \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ &\quad \Leftrightarrow \quad - \dfrac{2k+3}{k} = \dfrac{3}{4} \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad - \dfrac{4(2k+3)}{4k} = \dfrac{3k}{4k} \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad -4(2k+3) = 3k, \qquad \mbox{con } k \neq 0\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad -11k = 12\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad k = -\dfrac{12}{11} \end{aligned}\]

accettabile per il punto 1).

Soluzione Punto 7.
La somma dei quadrati delle soluzioni pari a 2 possiamo scriverla come

    \[x_1^2+x_2^2=2\]

da cui

    \[\begin{aligned} & x_1^2+x_2^2=2\\\\ & (x_1+x_2)^2 - 2x_1 \, x_2 =2 \end{aligned}\]

e ricordando che la somma è data da -B/A e il prodotto da C/A otteniamo

    \[\left(-\dfrac{B}{A}\right)^2 - 2 \, \dfrac{C}{A} =2\]

e sostituendo abbiamo

    \[\begin{aligned} & \left(-\dfrac{2k+3}{k}\right)^2 - 2 \, \dfrac{k+1}{k} =2\\\\ & \dfrac{4k^2+12k+9}{k^2}- 2 \, \dfrac{k+1}{k} =2\\\\ & \dfrac{4k^2+12k+9-2k^2-2k}{k^2} = \dfrac{2k^2}{k^2}\\\\ & 4k^2+12k+9-2k^2-2k = 2 k^2, \qquad \mbox{con } k \neq 0\\\\ & 10k+9 = 0\\\\ & k = - \frac{9}{10} \end{aligned}\]

accettabile per il punto 1).

Soluzione Punto 8.
La somma dei cubi delle soluzioni pari a 0, possiamo scriverla come

    \[x_1^3+x_2^3=0\]

da cui

    \[\begin{aligned} & x_1^3+x_2^3=0\\ & (x_1+x_2)^3 - 3x_1^2 \, x_2 - 3x_1 \, x_2^2 =0\\ & (x_1+x_2)^3 - 3x_1\, x_2 \, (x_1 + x_2) =0 \end{aligned}\]

e ricordando che la somma è data da -B/A e il prodotto da C/A otteniamo

    \[\left(-\dfrac{B}{A}\right)^3 - 3 \, \dfrac{C}{A} \left(- \dfrac{B}{A}\right)=0\]

e sostituendo abbiamo

    \[\begin{aligned} & \left(-\dfrac{B}{A}\right)^3 - 3 \, \dfrac{C}{A} \left(- \dfrac{B}{A}\right)=0\\\\ & \left(-\dfrac{2k+3}{k}\right)^3 - 3 \, \dfrac{k+1}{k} \left(- \dfrac{2k+3}{k}\right)=0\\\\ & \left(-\dfrac{2k+3}{k}\right)^3 - 3 \, \dfrac{k+1}{k} \left(- \dfrac{2k+3}{k}\right)=0\\\\ & 2k^3-3k^2+9k+27=0\\\\ & k = - \dfrac{3}{2} \; \vee \; k = \dfrac{-9-3\sqrt{5}}{2} \; \vee \; k = \dfrac{-9+\sqrt{3}}{2} \end{aligned}\]

non accettabili per il punto 1).

Soluzione Punto 9.
Due soluzioni sono negative se il loro prodotto è positivo e la loro somma è negativa. Infatti la richiesta del solo prodotto positivo, non esclude che le soluzioni siano entrambe positive.
Impostiamo il seguente sistema

    \[\begin{cases} 	x_1+x_2<0\\\\ 	x_1\, x_2 > 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad  \begin{cases} 	-\frac{B}{A}<0\\\\ 	\frac{C}{A} > 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad  \begin{cases} 	\dfrac{2k+3}{k}>0\\\\ 	\dfrac{k+1}{k}>0 \end{cases}\]

da cui

    \[\begin{cases} 	k<-\frac{3}{2} \, \vee \, k> 0\\\\ 	k<-1 \, \vee \, k>0. \end{cases}\]

Siccome dobbiamo tenere a mente anche la condizione di realtà del punto 1), impostiamo il seguente sistema

    \[\begin{cases} 	k<-\frac{3}{2} \, \vee \, k> 0\\\\ 	k<-1 \, \vee \, k>0\\\\ 	k \ge -\frac{9}{8} \end{cases}\]

che ha soluzione

    \[k>0.\]


Fonte: Zanichelli