Determinare per quali valori di 
l’equazione
![\[x^2-2kx-3=0\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ede67cb1ec7ece8e5d35d4e4bdc4c24_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
soddisfa le seguenti condizioni:
a) le soluzioni sono reali e opposte
b) le soluzioni sono reali e reciproche
Soluzione
I coefficienti dell’equazione di secondo grado possono essere costanti o dipendere da . Per semplicità di notazione li denotiamo con 
e 
senza evidenziare la dipendenza dal parametro dove necessario, dunque abbiamo
![\[A = 1 \qquad B=-2k \qquad C=-3.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8039563602b648e584fda8e8e926f63e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento a)
Le soluzioni di un’equazione di secondo grado
![\[Ax^2+Bx+C=0\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aaa1d51ebf8dde9e31b141e5459148f0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
sono reali quando 
, quindi impostiamo
![\[\Delta\ge0 \quad \Rightarrow \quad B^2-4AC \ge 0 \quad \Rightarrow \quad (-2k)^2-4\cdot 1 \cdot (-3) \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 4k^2 +12 \ge0 \quad \Rightarrow \quad \forall \, k \in \mathbb{R}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5cd281f36405eddd62a2d0776d77ef9d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quindi le soluzioni sono reali per ogni valore reale di . Dunque, andiamo a calcolare per quale valore di sono opposte. Due soluzioni sono opposte quando la loro somma è zero, quindi dato che la somma di due soluzioni è data da
![\[- \dfrac{B}{A} = \text{somma}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-298d97c517e2611afc837f61b7941b9e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
abbiamo
![\[- \dfrac{-2k}{1} = 0 \quad \Rightarrow \quad k=0\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2e542587c82ca57644a71a8b0d59d70_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che risulta essere accettabile poiché le soluzioni sono reali per ogni valore di .
Svolgimento b)
Abbiamo già determinato che le soluzioni sono reali per ogni valore di quindi dobbiamo vedere per quale valore di le soluzioni sono reciproche. Le soluzioni sono reciproche quando il loro prodotto è uguale ad 
, quindi dato che il prodotto è dato da
![\[\dfrac{C}{A} = \text{prodotto}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a7ea13c5e79c2a981445fbd75b2709f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
otteniamo
![\[-3=1\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e9dee04f4170746f2217f69d04c75b91_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che risulta impossibile, quindi non esistono valori di affinché le soluzioni siano reciproche.
Fonte: La matematica a colori 2 – edizione blu