Esercizio 3 – Equazione di secondo grado parametrica

Equazioni di secondo grado parametriche

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare per quali valori di k l’equazione

    \[x^2-2kx-3=0\]

soddisfa le seguenti condizioni:
a) le soluzioni sono reali e opposte
b) le soluzioni sono reali e reciproche

 

Soluzione

I coefficienti dell’equazione di secondo grado possono essere costanti o dipendere da k. Per semplicità di notazione li denotiamo con A,B e C senza evidenziare la dipendenza dal parametro k dove necessario, dunque abbiamo

    \[A = 1 \qquad B=-2k \qquad C=-3.\]

Svolgimento a)
Le soluzioni di un’equazione di secondo grado

    \[Ax^2+Bx+C=0\]

sono reali quando \Delta\ge0, quindi impostiamo

    \[\Delta\ge0 \quad \Rightarrow \quad B^2-4AC \ge 0 \quad \Rightarrow \quad (-2k)^2-4\cdot 1 \cdot (-3) \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 4k^2 +12 \ge0 \quad \Rightarrow \quad \forall \, k \in \mathbb{R}\]

Quindi le soluzioni sono reali per ogni valore reale di k. Dunque, andiamo a calcolare per quale valore di k sono opposte. Due soluzioni sono opposte quando la loro somma è zero, quindi dato che la somma di due soluzioni è data da

    \[- \dfrac{B}{A} = \text{somma}\]

abbiamo

    \[- \dfrac{-2k}{1} = 0 \quad \Rightarrow \quad k=0\]

che risulta essere accettabile poiché le soluzioni sono reali per ogni valore di k.
Svolgimento b)
Abbiamo già determinato che le soluzioni sono reali per ogni valore di k quindi dobbiamo vedere per quale valore di k le soluzioni sono reciproche. Le soluzioni sono reciproche quando il loro prodotto è uguale ad 1, quindi dato che il prodotto è dato da

    \[\dfrac{C}{A} = \text{prodotto}\]

otteniamo

    \[-3=1\]

che risulta impossibile, quindi non esistono valori di k affinché le soluzioni siano reciproche.


Fonte: La matematica a colori 2 – edizione blu