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Equazioni di secondo grado parametriche – Esercizio 2

Equazioni di secondo grado parametriche

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Equazioni di secondo grado parametriche – Esercizio 2

In questo secondo articolo sulle equazioni di secondo grado parametriche, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo argomento. Segnaliamo anche il precedente Equazioni di secondo grado parametriche – Esercizio 1 e il successivo Equazioni di secondo grado parametriche – Esercizio 3 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
Buona lettura!

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 5 esercizi svolti sulle equazioni di secondo grado parametriche.

 

Esercizio (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali valori di k l’equazione

\[(k+1)x^2-4x+1=0 \qquad \qquad k\neq -1\]

soddisfa le seguenti condizioni:
a) le soluzioni sono reali
b) non ammette soluzioni reali
c) una delle due soluzioni è -2.

Svolgimento punto a.

I coefficienti dell’equazione di secondo grado possono essere costanti o dipendere da k. Per semplicità di notazione li denotiamo con A,B e C senza evidenziare la dipendenza dal parametro k dove necessario, dunque abbiamo

\[A =k+1 \qquad B=-4 \qquad C=1.\]

Le soluzioni di un’equazione di secondo grado

\[Ax^2+Bx+C=0\]

sono reali quando \Delta\ge0, quindi impostiamo

\[\Delta\ge0 \quad \Rightarrow \quad B^2-4AC \ge 0 \quad \Rightarrow \quad (-4)^2-4\cdot (k+1) \cdot 1 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 16 -4k-4\ge0 \quad \Rightarrow \quad k \le 3\]

Quindi le soluzioni sono reali per

\[k \le 3 \; \wedge \; k\neq -1 \; (\text{come dato dal testo})\]

Svolgimento punto b.

Le soluzioni di un’equazione di secondo grado

\[Ax^2+Bx+C=0\]

non sono reali quando \Delta<0, quindi procedendo analogamente a prima si ottiene

\[k >3\]

Quindi le soluzioni non sono reali per

\[k > 3.\]

Svolgimento punto c.

Per determinare k affinché una delle due soluzioni sia -2 è sufficiente sostituire x=-2 nell’equazione, ottenendo

\[(k+1)2^2 - 4 \cdot (-2) + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4(k+1)=-9 \quad \Rightarrow \quad k=-\dfrac{13}{4}.\]


Fonte: La matematica a colori 2 – edizione blu

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
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