Esercizio 2 – Equazione di secondo grado parametrica

Equazioni di secondo grado parametriche

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare per quali valori di k l’equazione

    \[(k+1)x^2-4x+1=0 \qquad \qquad k\neq -1\]

soddisfa le seguenti condizioni:
a) le soluzioni sono reali
b) non ammette soluzioni reali
c) una delle due soluzioni è -2

 

Soluzione

I coefficienti dell’equazione di secondo grado possono essere costanti o dipendere da k. Per semplicità di notazione li denotiamo con A,B e C senza evidenziare la dipendenza dal parametro k dove necessario, dunque abbiamo

    \[A =k+1 \qquad B=-4 \qquad C=1.\]

Svolgimento a)
Le soluzioni di un’equazione di secondo grado

    \[Ax^2+Bx+C=0\]

sono reali quando \Delta\ge0, quindi impostiamo

    \[\Delta\ge0 \quad \Rightarrow \quad B^2-4AC \ge 0 \quad \Rightarrow \quad (-4)^2-4\cdot (k+1) \cdot 1 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 16 -4k-4\ge0 \quad \Rightarrow \quad k \le 3\]

Quindi le soluzioni sono reali per

    \[k \le 3 \; \wedge \; k\neq -1 \; (\text{come dato dal testo})\]

Svolgimento b)
Le soluzioni di un’equazione di secondo grado

    \[Ax^2+Bx+C=0\]

non sono reali quando \Delta<0, quindi procedendo analogamente a prima si ottiene

    \[k >3\]

Quindi le soluzioni non sono reali per

    \[k > 3\]

Svolgimento c)
Per determinare k affinché una delle due soluzioni sia -2 è sufficiente sostituire x=-2 nell’equazione, ottenendo

    \[(k+1)2^2 - 4 \cdot (-2) + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4(k+1)=-9 \quad \Rightarrow \quad k=-\dfrac{13}{4}\]


Fonte: La matematica a colori 2 – edizione blu