Esercizio 1 – Equazione di secondo grado parametrica

Equazioni di secondo grado parametriche

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare per quali valori di k l’equazione

    \[x^2-3x+k=0\]

soddisfa le seguenti condizioni:
a) le soluzioni sono reali distinte
b) le soluzioni sono coincidenti
c) una delle due soluzioni è 1

 

Soluzione

I coefficienti dell’equazione di secondo grado possono essere costanti o dipendere da k. Per semplicità di notazione li denotiamo con A,B e C senza evidenziare la dipendenza dal parametro k dove necessario, dunque abbiamo

    \[A = 1 \qquad B=-3 \qquad C=k.\]

Svolgimento a)
Le soluzioni di un’equazione di secondo grado

    \[Ax^2+Bx+C=0\]

sono reali e distinte quando \Delta>0, quindi impostiamo

    \[\Delta>0 \quad \Rightarrow \quad B^2-4AC > 0 \quad \Rightarrow \quad (-3)^2-4\cdot 1 \cdot k > 0 \quad \Rightarrow \quad 9-4k>0 \quad \Rightarrow \quad k<\dfrac{9}{4}\]

Quindi le soluzioni sono reali e distinte per

    \[k<\dfrac{9}{4}\]

Svolgimento b)
Le soluzioni di un’equazione di secondo grado

    \[Ax^2+Bx+C=0\]

sono reali e coincidenti quando \Delta=0, quindi impostiamo

    \[\Delta=0 \quad \Rightarrow \quad B^2-4AC = 0 \quad \Rightarrow \quad (-3)^2-4\cdot 1 \cdot k = 0 \quad \Rightarrow \quad 9-4k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = \dfrac{9}{4}\]

Quindi le soluzioni sono coincidenti per

    \[k= \dfrac{9}{4}\]

Svolgimento c)
Per determinare k affinché una delle due soluzioni sia 1 è sufficiente sostituire x=1 nell’equazione, ottenendo

    \[(1)^2-3 \cdot (1) + k=0 \quad \Rightarrow \quad 1 -3+k=0 \quad \Rightarrow \quad k=2\]


Fonte: La matematica a colori 2 – edizione blu